(۳-۱)

در رابطه فوق ماتریس های  و  ، به ترتیب ماتریس بردارهای منفرد چپ و راست می باشند. بردارهای منفرد دارای خاصیت تعامد هستند، به عبارت دیگر:

(۳-۲)

همچنین  با مرتبه  یک ماتریس قطری  شامل مقادیر منفرد می باشد که مولفه های روی قطر اصلی آن غیر صفر و بقیه مولفه ها صفر هستند. درایه های روی قطر اصلی این ماتریس به صورت  می باشد که مقادیر منفرد ماتریس  هستند. مقادیر منفرد موجود در ماتریس  ، ارزش بردار های منفرد  در ماتریس داده های اصلی  را نشان می دهند. بدین صورت که هر چه مقادیر منفرد بزرگتر باشد، بردارهای منفرد متناظر آن از اهمیت و ارزش بیشتری برخوردار هستند و آن دسته از داده های موجود در ماتریس  که نگاشت SVD آنها را به این مقادیر و بردارهای منفرد نگاشته است، نقش اصلی را در ساختار ماتریس  ایفا می کند.
مقادیر منفرد یک سیگنال، اطلاعاتی نظیر سطح نویز، سطح انرژی سیگنال و تعداد مولفه های تشکیل دهنده سیگنال را نشان می دهد. از مهمترین کاربرد های SVD می توان، کاهش نویز سیگنال و جداسازی مولفه ها را نام برد که برای این منظور از مقادیر ویژه و خاصیت متعامد بودن بردار های ویژه استفاده می کنند. مقادیر منفرد چند سیگنال مختلف ممکن است مثل هم باشند. به همین دلیل این پارامتر برای پردازش سیگنال ها نمی تواند مطمئن باشد.

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

همانطور که گفته شد از روش SVD برای کاهش نویز استفاده می کنند. کاهش نویز را می توان نوعی جداسازی مولفه ها نامید. اگر X را سیگنال نویزی در نظر بگیریم و بخواهیم سیگنال اصلی را از سیگنال نویزی استخراج کنیم، از سیگنال نویزی SVD گرفته و طبق روابط زیر جداسازی را انجام می دهیم. سیگنال با انرژی قوی تر، دارای مقادیر ویژه بزرگتری نسبت به سیگنال با انرژی ضعیف تر می باشد. بدین ترتیب مولفه های بزرگ و کوچک سیگنال از یکدیگر به وسیله مقادیر ویژه جدا می شوند. در نتیجه می توان سیگنال نویز را از سیگنال اصلی تفکیک کرد.

(۳-۳)

(۳-۴)

در اینجا اندیس a برای سیگنال اصلی و اندیس n را برای نویز می باشد.
۳-۲- رابطه بین تجزیه مقادیر منفرد و تجزیه مقادیر ویژه
در عمل برای محاسبه مقادیر و بردارهای منفرد از مقادیر و بردار های ویژه استفاده می کنند. مقادیر و بردارهای منفرد جذر مقادیر و بردار های ویژه می باشند، بنابر این در ادامه مروری بر تجزیه مقادیر ویژه، خواص و روش های محاسبه آنها خواهیم داشت و سپس کاربردهای تجزیه مقادیر منفرد ارائه شده است.
۳-۳- مقادیر ویژه و بردارهای ویژه
اگر A یک ماتریس  باشد آنگاه بردار ناصفر X را یک بردار ویژه A نامند اگر AX مضربی از X باشد. به بیان دیگر برای بعضی از مقادیر  داشته باشیم  . مثلا بردار  یک بردار ویژه ماتریس  نظیر  است زیرا:

۳-۳-۱- روش یافتن مقادیر ویژه
تساوی  را می توان به فرم  نوشت بنابراین با فاکتورگیری از X داریم:

(۳-۵)

می دانیم که دستگاه همگن فوق زمانی دارای جواب ناصفر است که دترمینان ماتریس ضرایب آن صفر باشد لذا: