که و ضرایب مربوط به حرکت دورانی و= r⁵ نیز اثر ممان اینرسی دورانی اضافه شده برای حالت ≤ ν و حالت حرکت چرخشی است. نهایتا می‏توان ضرایب سختی دینامیکی خاک را در حوزه‏ی فرکانس به فرم زیر به‏دست آورد [۵۱]:

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

(‏۳‑۳۳)

()= []

(‏۳‑۳۳- الف)

(‏۳‑۳۳- ب)

که در آن‏ها فرکانس بدون بعد است و ? و c از جدول ۳-۱ به‏دست می‏آید.
همان‏طور که مشاهده می‏گردد، در حوزه‏ی فرکانس می‏توان برای حرکت دورانی ضرایب فنر و میراگر را محاسبه نمود، در حالی‏که در حوزه‏ی زمان به‏دلیل وجود عبارت کانولوشن نمی‏توان ضرایب ثابت فنر و میراگر را به‏سادگی به‏‏دست آورد. این موضوع در واقع به دلیل وابستگی سختی دینامیکی خاک به فرکانس می‏باشد.
با توجه به مفاهیم ذکر شده در بالا، می‏توان ضرایب سختی دینامیکی یک دیسک با شعاع r₀ واقع بر یک نیم‏فضای همگن بی‏میرایی با مدول برشی G، جرم حجمی ρ و به ازای دو نسبت پواسون ( برای خاک تراکم‏پذیر) و ( برای خاک تراکم‏نا‏پذیر) را برای درجه‏ی آزادی عمودی به‏دست آورد و در قالب نمودار ۳-۱ و نمودار ۳-۲ با حل‏های دقیق موجود مقایسه نمود.
در این دو نمودار نتایج به صورت تابعی از فرکانس بدون بعد تعریف شده در رابطه‏ی (۳-۱۷-الف) ارائه شده است. خطوط خط‏چین معرف حل ولف [۲۸] به روش مخروط و نقاط منفرد مربوط به حل دقیق انجام شده توسط ولتسوس [۵۲] می‏باشد. خطوط نقطه‏چین نیز مربوط به حل انجام شده در این تحقیق به روش مخروط می‏باشد که به دلیل یکسان بودن روش، کاملا منطبق با حل ولف به‏دست آمده است.
همان‏طور که مشاهده می‏شود در حالتی که نسبت پواسون برابر است و خاک تراکم‏ناپذیر می‏باشد، وجود جرم محبوس منجر به کاهش ضریب سختی فنر می‏شود به گونه‏ای که برای مقادیر a₀ بزرگ‏تر از ۵/۲ مقادیر سختی فنر را منفی می‏کند.
نمودار ‏۳‑۱: ضریب سختی فنر دیسک واقع بر نیم‏فضای همگن برای درجه‏ی آزادی عمودی به ازای نسبت‏های پواسون مختلف
نمودار ‏۳‑۲: ضریب میرایی دیسک واقع بر نیم‏فضای همگن برای درجه‏ی آزادی عمودی به ازای نسبت‏های پواسون مختلف
در نظر گرفتن میرایی
مدل مخروطی ارائه شده در قسمت‏های قبل بر پایه‏ی حالت ایده آل بوده که در آن محیط به‏طور کامل الاستیک است و انرژی فقط به صورت تشعشعی اتلاف می‏گردد. برای در نظر گرفتن اثر میرایی مصالح^[۵۲] به صورت هیسترتیک از اصل تناظر^[۵۳] استفاده می‏شود. این اصل بیان می‎‏کند که پاسخ میرا‏ شده، از جایگزین کردن مدول‏های الاستیسیته با مدول‏های مختلط متناظر، در پاسخ الاستیک به‏دست می‏آید:

E E

(‏۳‑۳۴)

G G

(‏۳‑۳۵)

که میرایی مصالح خاک می باشد.
این اصلاح برای سرعت‏های موج برشی و انبساطی و همچنین فرکانس بدون بعد نیز اعمال می‏شود اما نسبت پواسون تغییر نمی‏کند و در نتیجه نسبت‏های ظاهری z₀/r₀ نیز دچار تغییر نمی‏شوند [۲۸].

(‏۳‑۳۶)