روش اول که روش  نامیده میشود توسط برت و همکاران ]۱۱۱[ و جنگ و همکاران ]۱۱۳[ ارائه شد. در این روش، به تعداد شرایط مازاد بر یک شرط که میبایست در یک سمت اعمال شوند،گره های محاسباتی در مجاورت آن مرز انتخاب میشود. در این روش فاصلهی دورترین گرهی محاسباتی از مرز به اندازهی  میباشد. سپس شرایط مرزی مازاد بر یک شرط, به گره های محاسباتی انتخاب شده در مجاورت آن مرز منتقل میشود. معمولا شرایط مرزی مشتقی به نقطهی  اعمال میشوند. برای رسیدن به جوابهای دقیق مقدار  باید بسیار کوچک در نظر گرفته شود. (  در حالت بدون بعد ]۱۱۱و۱۱۳[). اگر  به اندازهی کافی کوچک باشد, این روش منجر به جوابهای با دقت بسیار مناسبی خواهد شد. اما این روش ایراد عمدهی دارد بدلیل عدم اعمال شرایط مرزی در سر جای خود، دقت محاسبات پایین میآید، برای پایین آوردن خطای محاسبات میبایست نقاط همجوار مرز در فاصلهی بسیارکمی از مرز اعمال شود تا دقت محاسبات حفظ گردد اما خود این امر (کوچک بودن بیش از حد مرتبهی فاصلهی گرهها نسبت به یروشیگر) ممکن است مشکل دیگری را در حل مساله ایجاد کند و آن ایجاد ناپایداری برای حل مساله میباشد.کوچک بودن بیش از در به علاوه, انتخاب دلخواه مقدار  ممکن است باعث ایجاد جوابهای غیر همگراه شود.

( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

شو ]۱۱۹[ روشی جالبی را ارائه داد که هیچگونه محدودیتی ندارد. دقت، بازده و پایداری این روش، در تمام مسائل بررسی شده، به طورکامل برتر از روش قدیمی  میباشد. ایده اصلی این روش اعمال شرایط مرزی بر خود ماتریس ضرایب وزنی و ایجاد ماتریس ضرایب وزنی اصلاح شده میباشد. تابع  را بر روی بازهی   در نظر بگیرید. و همچنین فرض کنید که معادلهی دیفرانسیل پارهای که h جواب آن است، بطور مثال دارای دو شرط مرزی بر روی  بدین قرار میباشد  و  باشد. همانطور که گفته شد میبایست شرایط مرزی بر خود ماتریس اعمال گردد. با توجه به اصول روش مربعات دیفرانسیل، اگر سطر اول ماتریس ضرایب وزنی مرتبهی اول صفر گذاشته شود و از این ماتریس به عنوان ماتریس ضرایب وزنی استفاده شود، در حقیقت شرط  در  بطور خودکار بر مساله اعمال میگردد. در نتیجه میتوان هر دو شرط مرزی را دقیقا در سر جای خود در مساله بکار گرفت. به ماتریس مذکور، ماتریس ضرایب وزنی مرتبهی اول اصلاح شده، گفته میشود. در ایجاد ماتریس ضرایب وزنی مراتب بالاتر از روش ضرب ماتریسی استفاده میشود. گفتنی است که در ضرب ماتریسی، از ماتریس ضرایب وزنی اصلاح شده به جای ماتریس ضرایب وزنی معمولی استفاده میشود. بنابراین، برای ساختن ماتریس ضرایب وزنی مشتقات مرتبهی دوم h ازرابطه زیر استفاده میشود:

که در آن  ،  و  بترتیب ماتریس ضرایب وزنی مرتبهی اول، ماتریس ضرایب اصلاح شدهی مرتبهی اول ودوم هستند و بالانویس آورده شده در ماتریس ضرایب وزنی نشاندهندهی جهتی است که مشتق درآن سمت محاسبه میشود. همانطور که در بخش قبل گفته شد، استفاده از ضرب ماتریسی حجم محاسباتی را بشدت بالا میبرد اما با توجه به کاهش عدم پایداری در مساله و افزایش دقت آن، این روش بسیار مورد توجه محققین قرار گرفته است.
۷.۲- انواع انتخاب فواصل بین نقاط
دقت اکثر روش های عددی به نحوهی توزیع گرهها حساس میباشد. شو ]۱۱۹[ اثر نحوه توزیع نقاط گرهای بر روی دقت جوابها و پایداری مساله را بررسی کرده است. وی نشان میدهد که کشیدن نقاط نزدیک مرزها به طرف مرزها، به خصوص هنگامی که مشهای خشنی وجود دارند، باعث بهبود قابل توجهی در جوابها میگردد. وی رابطهای ساده و موثر برای کشیدن نقاط به طرف مرزها ارائه میکند، که در ادامه به بررسی آن پرداخته میشود.
در این تحقیق پنج نوع روش که در مقالات گوناگونی آورده شدهاند، برای انتخاب فواصل نقاط گرهای در نظر گرفته شده است. فرض میشود که مختصات بیبعدشدهی نقاط در محدودهی  باشد و N تعداد نقاط گرهها میباشد.
نوع اول: توزیع یکنواخت

نوع دوم: استفاده از ریشه های چند جملهای چبشف^[۲۷] نوع اول

جاییکه  در نظر گرفته میشود.
نوع دوم: استفاده از ریشه های چند جملهای چبشف نوع دوم

جاییکه  در نظر گرفته میشود.
نوع سوم: استفاده از ریشه های چند جملهای لژاندر

جاییکه  در نظر گرفته میشود.