در سیستمهای دینامی تعاریف مربوط به نقاط جاذب و دافع سیستم، بهصورت زیر ارائه م گردد:
تعریف ٢.٢.٢. فرض م کنیم _(X,f) ی سیستم دینامی باشد. نقطهیp را جاذب م گوییم هرگاه ی همسایU ازp موجود باشد بهطوریکه
تعریف ٢.٢.٣. فرض م کنیم _(X,f) ی سیستم دینامی باشد. نقطهیq را دافع م گوییم هرگاه ی همسای
U ازq موجود باشد بهطوریکه
.
مثال ٢.٢.۴. ن اشت لجستی ^[۱۲] _. −  با فرض _۲µ > را در نظر ب یرید. نمودار این ن اشترا با فرض تقاطع با محورy _= x در ش ل ۶.٢ نمایش داده شده است.
نقاط ثابت تابعf ، نقاط هستند که منحن ₍y _= fµ(x با خطy _= x تقاطع دارد. بنابراین داریم

( اینجا فقط تکه ای از متن پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

f
,
از طرف
٢.٢. بررس هندس نقاط جاذب و دافع ی سیستم دینامی ٢٧
ش ل ٢.۶: نمودار ن اشت لجستی .
با توجه به آنچه در تبصره ١.٢.٢ گفته شد، در نقطه ثابت ۰= ∗x داریم،  . چون _۲µ > پس۱ >| (0) ′f_µ |^. پس نقطهی ۰= ∗x دافع است.
در نقطهی  هن ام که _{۳< µ <} ۲، ی نقطهجاذب برای تابعf
م باشد.
مثال ٢.٢.۵. ن اشت ماتریس زیر را در نظر م گیریم
A : R² → R,
A(i,j) 7→ A_ij,
با توجه به مقادیر ویژه این ماتریس، م توان در خصوص انواع نقاط ثابت این ن اشت بحث نمود. فرض م کنیمτ رد ماتریسA و ∆ دترمینان آن باشد. م دانیم که مقادیر ویژه ماتریسA از رابطه زیر محاسبه م گردد
,
از طرف با مفروض داشتن مقادیر ویژه داریم
∆ = λ_۱λ_۲, τ = λ_۱ + λ_۲.
اکنون با توجه به دترمینان ماتریس و مقادیر ویژه آن، حالتهای زیر رخ م دهد
اگر _۰ < ∆ باشد در اینصورت مقادیر ویژه ماتریسA ، حقیق و دارای علامت مخالف هم م باشند _< ۱λ)
_{(۲< λ} ۰ بنابراین طبق آنچه در حالت اول ٢.١.٢ گفته شد، نقطهی ثابت ماتریسA ی نقطهی زین است. و سایر
نقاط ماتریس به نقطه ی ثابت جذب م شوند. اگر _{(۱λ۲ < ۰ < λ})، در اینصورت سایر نقاط ماتریس از نقطهیثابت دور شده و آنرا دافع م گوییم.
اگر _۰ > ∆ باشد، آن اه مقادیر ویژه ماتریسA ، حقیق و دارای علامت ی سان، یا مختلط و هم علامت،م باشند بنابراین طبق آنچه در حالتهای دوم، سوم و چهارم ٢.١.٢ گفته شد، نقطهی ثابت ماتریسA م تواندی گره پایدار یا، زمان که مقادیر ویژه مختلط هستند، ی نقطهی مرکزی و یا ی کانون پایدار(مارپیچ) باشد.
اگر _۰ < ۴∆ − ^۲τ باشد، نقاط با حرکت مارپیچ به نقطهی ثابت جذب م شوند.
اگر ۰ > ۴∆ − ^۲τ باشد، گره پایدار رخ م دهد.
اگر ۴∆ = ۰ − ^۲τ باشد، سهم فوق جداکنندهای بین گره های پایدار و کانونهای پایدار است. گره های ستارهایو گره های تبه ون روی سهم قرار م گیرند.
پایداری گرهها و کانونها به مقدارτ بست دارد. هن ام که _۰τ < است، یعن هردو مقدار ویژهی ماتریسقسمتهای حقیق منف دارند، نقطهی ثابت پایدار است. هن ام که _۰τ > است، کانونها و گرهها ناپایدارند.
نقطهی مرکزی پایدار زمان که _۰=τ است، رخ م دهد که در این حالت مقادیر ویژه تنها شامل قسمت موهوممحض هستند.
اگر ۰=∆ باشد، آن اه حداقل ی از مقادیر ویژه ماتریسA ، برابر صفر است. در این حالت مبدأ ی نقطهثابت منفرد نم باشد. همچنین اگر ماتریس _۰=A باشد، ی خط کامل یا ی صفحه از نقاط ثابت داریم.
ش ل ٢.٧: نمودار ماتریس.
نمودار فوق نشان م دهد که عمدهترین انواع نقاط ثابت عبارتند از: نقاط زین ، گرهها و نقاط مارپیچ که این نقاطدر ناحیه بزرگ از صفحه _(,τ∆) واقع شدهاند. نقاط مرکزی، ستارهها و گره های تبه ون و نقاط ثابت نامنفرد مواردحاشیهای هستند که در طول منحن های واقع در صفحه _(,τ∆) قرار م گیرند. از بین این موارد حاشیهای ، نقاطمرکزی از اهمیت ویژهای برخوردارند.
فصل ٣

سیستمهای دینامی ت رار توابع انقباض

١ . ٣ ن اشتهای انقباض
٢ . ٣ سیستمهای ت رار توابع
٣ . ٣ سیستمهای ت رار توابع کمین
۴ . ٣ مجموعه های پایا با درون ناته
در این فصل به معرف ن اشتهای انقباض و سیستمهای ت رار توابع انقباض ، ویژگ ها و قضایای پیرامون آنهام پردازیم. آنچه در این فصل بیان م گردد، پایهای اصل برای مطالب ارائه شده در فصل بعدی است. مطالب اینفصل عموماًً برگرفته از [۴] و [١٣] م باشد.

١.٣ ن اشتهای انقباض

تعریف ٣.١.١. فرض کنید _(X,d) ی فضای متری باشد. ن اشتf _: X → X را ی ن اشت انقباض م نامیمهرگاه ۱< λ < ۰، وجود داشته باشد بهطوریکه برای هرx,y ∈ X ،
d(f(x),f(y)) < λd(x,y).
گزاره ٣.١.٢. هر ن اشت انقباض ی ن اشت پیوسته است.
برهان. فرض کنید (f : (X,d) → (X,d ی ن اشت انقباض روی فضای متری (X,d) باشد. همچنین فرضکنیدx ∈ X عضو دلخواه باشد و _۰ε > داده شده باشد. برای نشان دادن پیوست ن اشتf کافیستδ _= ε قرار دهیم. زیرا اگرx,y ∈ X بهطوریکهd(x,y) < δ باشد، آن اه با توجه به انقباض بودن تابعf داریم
d(f(x),f(y)) < λd(x,y) < δ = ε.
همچنین م توان گزاره فوق را برای حالت پیوست بهطور ی نواخت نیز بیان کرد.
نتیجه ٣.١.٣. هر ن اشت انقباض بهطور ی نواخت پیوسته است.
برهان. فرض کنید (f : (X,d) → (X,d ی ن اشت انقباض روی فضای متری (X,d) باشد. همچنین فرضکنید _۰ε > داده شده باشد. برای اثبات پیوست ن اشتf کافیستε _= δ قرار دهیم. زیرا اگرx,y ∈ X دو