۱۶

۱۸

۲۰

جدول (۲ـ۲) عملکرد الگوریتم آرنولدی برای ماتریس به ازای های مختلف

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

مثال ۲ـ۲ : ماتریس نامتقارن با درایه­های تصادفی بین صفر و یک را به صورت زیر در نظر بگیرید. برنامه مربوط به الگوریتم آرنولدی را به ازای جهت یافتن ماتریس متعامد و ماتریس هسنبرگ اجرا می­کنیم.
بعد از اجرای برنامه مربوط به الگوریتم آرنولدی به ازای ماتریس متعامد و ماتریس بالا هسنبرگی به صورت زیر به دست می ­آید. بردار اولیه دلخواه را به صورت (۱,۱,…,۱) در نظر می­گیریم.
بررسی خطا
ماتریس که در رابطه (۲-۳) به آن اشاره شد؛ ماتریسی با مرتبه یک و با فرمول زیر به دست می ­آید.
ستون آخر ماتریس فوق در واقع بردار است که با ضرب این بردار در بردار ماتریس بدست می ­آید. همان­گونه که ملاحظه می­ شود؛ الگوریتم آرنولدی ماتریس دلخواه را با یک ماتریس بالا هسنبرگی متشابه می­سازد. لذا مقادیر ویژه این ماتریس هسنبرگی تقریباً همان مقادیر ویژه ماتریس هستند.
۲ـ۴ روش­ هرمیتی لنگزوس
روش هرمیتی لنگزوس به عنوان روش آرنولدی ساده شده برای ماتریس­های هرمیتی به کار می­رود. اصل روش همان روش تصویری روی زیرفضای کرایلف می­باشد.
قضیه زیر نشان می­دهد که اگر روش آرنولدی را برای ماتریس­های هرمیتی به کار ببریم؛ چگونه به فرم­های ساده­تری از ماتریس­ها دست خواهیم یافت.
قضیه ۲ـ۵ : فرض کنید روش آرنولدی برای ماتریس هرمیتی به کار برده شده باشد، آن­گاه ضرایب تولید شده توسط الگوریتم حقیقی هستند؛ به طوری که:
به عبارت دیگر ماتریس به دست آمده از روند آرنولدی برای ماتریس هرمیتی ، حقیقی، متقارن و سه قطری است.
اثبات: با توجه به اینکه ماتریس یک ماتریس هرمیتی و بنا به ساختارش هسنبرگی است؛ بنابراین ماتریس یک ماتریس سه قطری است. به علاوه اسکالر بنا به تعریف حقیقی است و اسکالر با توجه به این­که ماتریس هرمیتی می­باشد، حقیقی است. از این رو، ماتریس هسنبرگ ، حقیقی، متقارن و سه قطری است.
این ماتریس را به صورت زیر نمایش می­دهیم:
برای نمایش ساده­تر الگوریتم لنگزوس قرار می­دهیم:
بنابراین با تغییرات مختصری در الگوریتم آرنولدی، الگوریتم لنگزوس به صورت زیر به دست می ­آید.
۲-۴-۱ الگوریتم لنگزوس
۱ـ بردار اولیه با نرم یک و بعد از زیرفضای کرایلف را انتخاب کنید و قرار دهید:
۲ـ به ازاء مقادیر زیر را به دست آورید:
لذا زمانی که ماتریس متقارن یا هرمیتی باشد؛ الگوریتم لنگزوس این ماتریس را با ماتریس سه قطری و متقارن، تشابه­سازی می­نماید و برای ماتریس تنها نیاز به ذخیره سه بردار است.
مثال ۲-۳ : فرض کنید یک ماتریس متقارن به صورت زیر باشد. برنامه مربوط به الگوریتم لنگزوس را به ازای جهت یافتن ماتریس متعامد و ماتریس هسنبرگ اجرا می­کنیم.
بردار اولیه دلخواه را به صورت (۱,۱,…,۱) در نظر می­گیریم، که در آن عدد یک به تعداد ۱۲ بار تکرار شده است. بعد از اجرای برنامه مربوط به الگوریتم لنگزوس به ازای ماتریس سه قطری و متقارن به صورت زیر به دست می ­آید. این ماتریس با ماتریس اولیه متشابه است و مقادیر ویژه آن با ماتریس اولیه تقریباً برابر است.
و ماتریس متعامد به صورت زیر به دست می ­آید.
مقدار خطای تعامدسازی روش است.
۲ـ۵ روش ناهرمیتی لنگزوس
این روش در واقع تعمیم روش لنگزوس برای حالتی که ماتریس اولیه ناهرمیتی است؛ به کار می­رود. این ایده توسط لنگزوس بیان شد و تفاوت اصلی آن با الگوریتم آرنولدی این است که به جای ساخت یک پایه متعامد برای زیرفضای کرایلف یک زوج پایه دو متعامد برای دو زیرفضای و ساخته می­ شود که در آن
و
الگوریتم این روش به صورت زیر ارائه می­ شود.
۲-۵-۱ الگوریتم ناهرمیتی لنگزوس
۱ـ دو بردار, به طوری که را انتخاب کنید و قرار دهید:
۲ـ به ازاء مقادیر زیر را به دست آورید:
خاطرنشان می­کنیم که بی­نهایت راه برای انتخاب اسکالرهای و وجود دارد و انتخاب این مقادیر برای آن است که ، این دو پارامتر به عنوان ضریب مقیاس برای دو بردار و هستند.
زمانی که ماتریس متقارن باشد، آن­گاه ها مثبت و حقیقی خواهند بود وها را برابر قرار می­دهیم. الگوریتم فوق، ماتریسرا با یک ماتریس سه قطری تشابه­سازی می­ کند، این ماتریس به صورت زیر است: