سوال اساسی این است که چرا باید سری به­دست آمده از روش آنالیز هوموتوپی یعنی سری

در ، همگرا باشد.
برای پاسخ دادن به این سوال قضایای زیررا ارائه می­کنیم.

( اینجا فقط تکه ای از متن پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

لازم به­ذکر است که در قضیه ۱-۹-۳روشن می­ شود که چگونه می­توان یک پارامتر کنترل همگرایی، پیدا کرد که سرعت همگرایی را بالا ببرد و یا چگونه می­توان با انتخاب مناسب سری همگرا شود.
۲-۹-۳: قضیه
فرض کنید یک فضای باناخ با نرم مناسب باشد که در آن دنباله به­ صورت زیر تعریف شده است
هم­چنین فرض کنید مقدار اولیه در درون دایره­ای که جواب در آن قرار گرفته است، باشد.
با توجه به این­که و ثابت می­باشد، گزاره های زیر صادق هستند
اگر برای هر ، که در آن ، آن­گاه در ، سری

به سری  روی دامنه تعریف مطلقاً همگرا است.
اگر برای هر ، و ، آن­گاه سری  در به  روی دامنه تعریف همگرا نخواهد بود.
اثبات
با پیروی از آزمون نسبت برای توان در سری، اثبات روشن است. با این­حال، به منظور برآورد خطای برشی از روش آنالیز هوموتوپی، اثبات را به­ صورت کامل ارائه می­کنیم.
فرض می­کنیم دنباله مجموع جزئی سری  باشد، باید نشان دهیم که دنباله یک دنباله کوشی در است. برای این منظور فرض می­کنیم
با توجه با رابطه (۸۰-۳) همه تقریب­های تولید شده با بهره گرفتن از روش آنالیز هوموتوپی یعنی رابطه
درون دایره ای که جواب ، داخل آن می­باشد، قرار می­گیرند. برای هر ، داریم
برای ، با بهره گرفتن از رابطه (۸۱-۳)
بنابراین یک دنباله کوشی در فضای باناخ است، و این یعنی سری  همگراست.
فرض می­کنیم عددی مانند وجود دارد که ، و سری توانی  همگرا باشد. برای همگرایی این سری باید . این متناقض با فرض است.
:۳-۹-۳نکته
از آن­جا که تعداد شرایطی که بر روی همگرایی تاثیر می­ گذارد محدود هستند، قضیه ۱-۹-۳ معتبر است اگر نابرابری­های ذکر شده در برای به اندازه کافی بزرگ درست باشند. برای پیگیری کردن قدر نسبت، کافی است قرار دهیم
و بررسی کنیم که آیا آن­ها کمتر از یک باقی می­مانند یا خیر.
نکته :۴-۹-۳
فرض­کنید قسمت قضیه (۳-۹-۲)، را به­ صورت یک نسبت نوشته باشیم و اگر حد آن را در بی­نهایت تضمین کنیم، ناحیه صحیح برای سری حل شده توسط روش آنالیز هوموتوپی به­دست می ­آید.
:۵-۵-۳قضیه
سری در صورتی همگراست که جوابی از معادله باشد.
اثبات
با فرض این­که سریهمگرا می­باشد، قضیه همگرایی را به صورت زیر ثابت می­کنیم.
با بهره گرفتن از رابطه
داریم
با توجه به این که ،و با توجه به روابط
و
داریم
به عبارت دیگر مطابق تعاریف (۷۷-۳) و (۷۸-۳)، داریم
با بهره گرفتن از (۷۵-۳) ، (۳-۷۷)، و (۷۹-۳)،
در حالت کلی، در معادله اصلی (۵۷-۳) صدق نمی­کند. بنابراین فرض می­کنیم
نمایش خطای مانده از معادله (۳-۵۷) باشد. مطابق این تعریف و سری مکلورن بر حسب ، داریم
اگر ، این عبارت با بهره گرفتن از (۸۱-۳) نتیجه می­دهد که
یعنی وقتی ،جواب دقیق معادله (۵۷-۳) بوده و در نتیجه به شرطی سری همگراست که جوابی از معادله اصلی (۵۷-۳) باشد.∎
قضیه :۶-۹-۳
فرض کنید سری که در (۴۳-۳) تعریف شده است برای یک مقدار مشخص همگرابه باشد.
اگر سری ، به عنوان یک تقریب از با شرایط
مورد استفاده قرار بگیرد، آن­گاه کران بالای خطا، که با نماد نشان داده می­ شود به این صورت تخمین زده می­ شود