‌بنابرین‏ اگر رگرسیون (۲-۶) را اجرا کنیم.

(۲ – ۶) Y_t = pY_t-1 + u_t

و تشخیص دهیم که در واقع p = 1 است، گفته می‌شود که متغیر Yt دارای ریشه واحد است. در اقتصادسنجی سری‌های زمانی، سری‌های زمانی که دارای ریشه واحد باشند فرایند گام^[۲۳] تصادفی نامیده می‌شود و نمونه‌ای از یک سری زمانی غیر ایستا است.

معادله (۲-۵) غالباً به شکل مدل (۲-۷) نیز نشان داده می‌شود.

(۲-۷) ΔY_t = (p – ۱)Y_t-1 + u_t = δY_t + u_t

که در آن =(p-1)δ و Δ اپراتور تفاضل مرتبه اول هستند. توجه کنید که ΔY_t=(Y_t– Y_t-1)+u_t است. اما اکنون فرضیه صفر (H₀) عبارت است از δ=۰ اگر δ در واقع برابر با صفر باشد می‌توانیم مدل (۲-۶) را به­ صورت مدل (۲-۸) بنویسیم. (حمیدی زاده، ۱۳۷۷: ۳۳)

(۲-۸) ΔY_t = (Y_t – Y_t-1) + u_t

معادله (۲-۸) بیانگر آن است که تفاضل مرتبه اول سری زمانی Y_t (که فرایند گام تصادفی است) ساکن است، زیرا بنا به فرض، u_t یک اختلال سفید یا خالص (جمله خطای استوکاستیک که از فروض کلاسیک تبعیت می‌کند در اصطلاحات فنی و مهندسی جمله اختلال خالص یا سفید نامیده می‌شود) است. اکنون اگر از یک سری زمانی یک مرتبه تفاضل گرفته شود (تفاضل مرتبه اول) و این سری تفاضل گرفته شده ساکن باشد، آنگاه سری زمانی اصلی انباشته از مرتبه اول است و به­ صورت (۱)I نشان داده می‌شود. (همان منبع: ۳۴)

اگر از سری زمانی دو­بار تفاضل گرفته شود (یعنی از سری زمانی تفاضل مرتبه اول، مجدداً تفاضل گرفته شود) و بعد از دو مرتبه تفاضل‌گیری مرتبه اول ساکن شود، سری اصلی انباشته از مرتبه دوم یا (۲)I است. به­ طور­کلی اگر از یک سری زمانی d مرتبه تفاضل‌گیری شود، انباشته از مرتبه d یا (d)I است.

بدین‌ترتیب هر گاه سری زمانی انباشته از مرتبه یک یا بالاتر باشد سری زمانی غیر­ایستا خواهد بود. به­ طور متعارف اگر _۰ = d باشد، در نتیجه فرایند (۰)I نشان دهنده یک فرایند ساکن است به ­همین دلیل یک فرایند ساکن به­ طور متعارف به صورت (۰)I مورد استفاده قرار ‌می‌گیرد. برای بررسی غیر­ایستا بودن سری زمانی نظیر Y_t، رگرسیون (۲-۵) را برآورده کرده و بررسی می‌کنیم که آیا p^ از لحاظ آماری برابر با یک است یا خیر و یا به عبارت دیگر (۲-۶) را تخمین زده و آزمون می‌کنیم که آیا δ^=۰ است (آزمون بر اساس آمار t صورت می‌گیرد). متاسفانه مقدار t که بدین ترتیب به دست می‌آید حتی در نمونه های بزرگ از توزیع t استیودنت پیروی نمی‌کند. (حمیدی زاده، ۱۳۷۷: ۳۶)

تحت فرضیه H₀ (منظور p=1) آماره آزمون t که در این روش محاسبه می‌شود آماره آ (tau) نامیده می‌شود، که مقادیر بحرانی آن به روش شبیه‌سازی مونت کارلو توسط دیکی و فولر به­ صورت جداول آماری محاسبه شده است. در ادبیات اقتصادسنجی آزمون آ، به آزمون دیکی فولر (DF^[24]) مشهور است. نکته مهم این که اگر فرضیه صفر (p=1) رد شود (یعنی سری زمانی ساکن باشد) می‌توانیم از تابع آزمون t استیودنت استفاده نماییم. به­عبارت ساده‌تر برای بررسی ساکن بودن سری زمانی، اگر رگرسیون نظیر (۲-۵) را تخمین زده و p تخمین زده شده را بر انحراف معیار آن تقسیم می‌کنیم تا مقدار آماره آزمون آ (محاسباتی) دیکی فولر به­دست آید و سپس به جدول دیکی فولر مراجعه کرده و بررسی می‌کنیم که آیا فرضیه p­=­۱ را می‌توان رد کرد یا خیر. اگر قدر مطلق آماره آ محاسباتی بزرگ­تر از قدر مطلق مقادیر بحرانی آ ( یعنی قدر مطلق DF یا DF مک‌کینان) باشد، آنگاه فرضیه مبتنی بر ساکن بودن سری زمانی را رد نمی‌کنیم، از طرف دیگر اگر مقدار آماره محاسباتی (قدر مطلق آن) کمتر از مقدار بحرانی باشد، سری زمانی غیر­ایستا خواهد­بود. (همان منبع: ۳۷)

به دلایل عملی و نظری، آزمون دیکی فولر برای رگرسیون‌هایی به­کار گرفته می‌شود که به فرم روابط (۲-۹)، (۲-۱۰) و (۲-۱۱) باشند.

(۲-۹) ΔY_t = δY_t-1 + u_t

(۲-۱۰) ΔY_t = β_۱ + δY_t-1 + u_t

(۲-۱۱) ΔY_t = β_۱ + β_۲t + δY_t-1 + u_t

که در آن t متغیر زمان یا روند است. در تمامی موارد فرضیه صفر (δ=۰) وجود دارد یعنی ریشه واحد وجود دارد. تفاوت بین رابطه (۲-۹) و دو رگرسیون دیگر ناشی از جزء ثابت (عرض از مبدأ) و جمله روند است. (حمیدی زاده، ۱۳۷۷: ۳۸)

اگر جمله خطای Ut خود همبسته باشد، (۲-۱۰) به­ صورت رابطه (۲-۱۲) تعدیل می‌شود.

(۲-۱۲) ΔY_t = β_۱ + β_۲t

هنگامی که آزمون DF برای مدل‌هایی نظیر (۲-۱۱) استفاده شود، آزمون دیکی فولر تعمیم یافته نامیده می‌شود. تابع آزمون ADF دارای توزیعی مجانبی مانند تابع آزمون DF بوده، ‌بنابرین‏ از مقادیر بحرانی یکسانی برای آن‌ ها نیز می‌توان استفاده کرد.

۲-۱۰ معادلات هم­زمان

هنگامی که رفتار چند متغیر سری زمانی مورد بررسی قرار می‌گیرد لازم است که به ارتباط متقابل این متغیرها در قالب یک الگوی سیستم معادلات هم­زمان توجه شود. به عنوان مثال، متغیری مانند قیمت در متغیرهایی مانند تولید، مصرف، واردات و غیره تأثیرگذار است و در عین حال قیمت‌ها از اثر متقابل عرضه و تقاضا و هم­چنین وضعیت‌های موجود در خارج از صنعت تشکیل می‌شود. در چنین دستگاهی، هر معادله، روابط متفاوتی را در میان مجموعه متغیرهای مختلف دستگاه توصیف می‌کند. اما فرض بر این است که همه‌ این روابط به­ طور هم­زمان، نشان دهنده معادلات ساختاری است که شامل معادلات رفتاری و اتحاد است. (نوفرستی، ۱۳۷۶: ۷۸)

۲-۱۱ پیش ­بینی

قسمت اعظم تلاش‌های بشر در جهت مقداری کردن کمیت‌های اقتصادی و اندازه‌گیری پارامتر‌های اقتصادی را می‌توان به توجه و علاقه بشر برای پیش‌بینی آینده نسبت داد. اقتصادسنج‌ها بر این نکته تأکید دارند که بهترین پبش‌بینی باید از بهترین برآوردهای ساختاری یک نظام اقتصادی به عمل آید. در واقع اقتصادسنج مجبور است ساختار نظام اقتصادی را جهت هر گونه پیش‌بینی که از نظر روانشناسی مستدل باشد مطالعه کند، گرچه عوامل کنترل نشده و غیرقابل کنترل سرانجام پیش‌بینی او را به بی­راهه بکشاند.

خوب بودن یک مدل اقتصادسنجی در قدرت پیش‌بینی آن نهفته است. از طرف دیگر، پیش‌بینی بر اساس مدل اقتصادسنجی بر سه اصل اساسی استوار است: (همان منبع: ۷۹)

1. 1. مشخص کردن یک مدل بر اساس نظریه اقتصاد و اطلاعات مربوط به سازمان‌های اقتصادی

1. 1. گرد­آوری داده ها و ارقام مناسب از متغیرهای مربوطه

1. برآورد مدل به­وسیله روش‌های آماری شناخته شده

۲-۱۱-۱ روش‌های پیش‌بینی رگرسیونی

به طو کلی چهار روش پیش‌بینی بر اساس داده های سری زمانی وجود دارد. (نیرومند و دیگران، ۱۳۸۹: ۱۲۱)

الف) مدل‌های رگرسیون تک معادله‌ای.

1. 1. مدل‌های ARIMA.

1. مدل‌های VAR.

د) مدل‌های رگرسیون معادلات هم­زمان.

الف) مدل‌های رگرسیون تک معادله‌ای