مدل (۲-۴۰) را تحت عنوان ARCH می‌شناسند، زیرا واریانس شرطی فقط بستگی به خطای دوره قبل دارد. توجه شود که (۲-۴۰) فقط بخشی از کل مدل است، زیرا درباره میانگین شرطی متغیر وابسته که همان معادله اصلی است، چیزی بیان نمی‌کند. در مدل ARCH، معادله میانگین شرطی یا معادله اصلی را که بیانگر تغییرات متغیر وابسته در طول زمان می‌باشد به هر شکلی که محقق بخواهد می‌تواند درنظر بگیرد. به عنوان مثال، مدل زیر را درنظر بگیرید:
(۲-۴۱)
(۲-۴۲)
مدل (۲-۴۲) را می‌توان گسترش داد و در حالت کلی آن را به صورت ARCH(q) نشان داد:
(۲-۴۳)
(۲-۴۴)
که برای سادگی به جای از استفاده شده است.
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت nefo.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

توجه شود که از آنجا که واریانس شرطی است، الزاماً مقدار آن باید مثبت باشد. لذا واریانس منفی در هر لحظه از زمان، غیرمعقول است و لازم است که تمام ضرایب معادله (۳-۷) غیرمنفی باشند.
۲- آزمون ARCH
آزمون ARCH راجه به ثابت یا متغیر بودن واریانس جمله خطا است. در واقع قبل از هر چیزی بایستی راجه به وضعیت واریانس جمله خطا، چنین آزمونی صورت گیرد. برای بررسی اینکه آیا واریانس ثابت است یا خیر و یا به عبارت دیگر برای آزمون ARCH مراحل زیر را انجام می‌دهیم.
۱- معادله میانگین شرطی Y را که به صورت زیر داده شده است با روش OLS براورد کرده و باقیمانده‌های آن را (یعنی ) حساب می‌کنیم:
(۲-۴۵)
خطاها را مجذور کرده و رگرسیون زیر را برآورد می‌کنیم:
(۲-۴۶)
از این معادله، را نیز حساب می‌کنیم.
به عنوان ملاک آزمون، را حساب می‌کنیم که برابر با حاصل ضرب تعداد مشاهدات در می‌باشد. توجه شود که دارای توزیع می‌باشد.
فرضیه زیر را آزمون می‌کنیم که معادل با عدم وجود ARCH (یعنی ثابت بودن واریانس) می‌باشد:
(۲-۴۷)
اگر لااقل یکی از ها غیر صفر باشد، واریانس ثابت نیست.
۳- محدودیت‌های مدل ARCH
مدل ARCH چارچوب مناسبی برای تحلیل تغییرپذیری در سری‌های زمانی ارائه می‌کند. اما این مدل دارای محدودیت‌ها و مشکلاتی است. یکی از مشکلات آن مربوط به تعیین q است، یعنی تعداد وقفه‌هایی که باید به باقیمانده‌ها بدهیم. البته یکی از روش‌ها استفاده از آزمون نسبت درستنمایی است که در ادامه این فصل بحث خواهد شد. از طرف دیگر ممکن است فرض غیر منفی بودن نقض شود که در این صورت تخمین مدل ARCH را با مشکل مواجه می‌کند. برای حل این مشکلات از مدل دیگری استفاده می‌شود که موسوم به ARCH تعمیم یافته یا GARCH^[189] می‌باشد.
۴- مدل ARCH تعمیم یافته (GARCH)
مدل GARCH در سال ۱۹۸۶ ارائه گردید^[۱۹۰]. حالت ساده‌ی این مدل عبارت است از:
(۲-۴۸)
مدل فوق چون خطاها با یک وقفه و واریانس نیز با یک وقفه وارد شده‌اند، آن را با (۱و۱) GARCH نشان می‌دهند. بدیهی است که اگر (۲-۴۹) را با یک وقفه نوشته و به جای جایگذاری کنیم، خواهیم داشت:
(۲-۴۹)
حال اگر این جایگذاری‌ها را تکرار کنیم، نتیجه زیر به دست می‌آید:
(۲-۵۰)
بنابراین، مدل فوق معادل با ( )ARCH می‌باشد. در حالت کلی (q,p) GARCH عبارت است از:
(۲-۵۱)
بدین ترتیب در حالت کلی، واریانس شرطی توسط معادله (۳-۱۵) توصیف می‌شود، ولی معمولاً (۱و۱) GARCH کفایت می‌کند. بدیهی است که واریانس شرطی در طول زمان در حال تغییر است، ولی واریانس غیرشرطی ثابت می‌باشد. برای محاسبه واریانس غیرشرطی، امید ریاضی معادله (۳-۱۲) را حساب کنیم. در این صورت است و لذا بر اساس معادله (۳-۱۲) واریانس غیرشرطی برابر است با:
(۲-۵۲)
عبارت فوق در صورتی قابل تعریف است که باشد. اگر باشد در این صورت واریانس غیرشرطی u قابل تعریف نمی‌باشد. اما اگر باشد اصطلاحاً گفته می‌شود که ریشه واحد وجود دارد و آن را با ^[۱۹۱]IGARCH نشان می‌دهند.
۵- تخمین مدل‌های ARCH و GARCH
از آنجا که مدل‌های ARCH و GARCH خطی نیستند لذا نمی‌توان آن‌ها را با روش‌های معمول مانند OLS برآورد نمود. توجه داریم که روش OLS به دنبال حداقل نمودن مجموع مربعات باقیمانده (خطا) است. همچنین درروش OLS مجموع مربعات باقیمانده (RSS) فقط بستگی به پارامترهای معادله میانگین شرطی دارد و هیچ وابستگی به واریانس شرطی ندارد. لذا روش OLS را نمی‌توان برای تخمین مدل‌ها ARCH و GARCH به کاربرد.
برای تخمین مدل‌های GARCH از روش حداکثر درستنمایی استفاده می‌شود. برای استفاده از روش حداکثر درستنمایی جهت تخمین مدل‌های GARCH فرض کنید که مدل ما شامل معادله میانگین شرطی ( ) و معادله واریانس شرطی باشد:
(۲-۵۳)
توزیع نرمال با میانگین ۰ و واریانس دارد که تابع احتمال آن عبارت است از:
(۲-۵۴)
حال تابع درستنمایی را تشکیل می‌دهیم:
(۲-۵۵)
لگاریتم تابع درستنمایی عبارت است از:
(۲-۵۶)
ضرایب مدل (۵-۵۴) که شامل a و b و و و است باید به‌گونه‌ای تعیین شوند که مقدار تابع (۵-۵۵) یا (۵-۵۶) حداکثر شود.
معمولاً نرم‌افزارهای کامپیوتری از قبیل Eviews چنین تخمین‌هایی را ارائه می‌کند. اما باید توجه داشت که روش تخمین معادلات غیرخطی به‌صورت تکراری است و لذا مقدار اولیه‌ای که برای شروع تخمین پارامترها در نظر گرفته می‌شود، اهمیت خاصی دارد..
اگر مقدار اولیه را برابر ۰ بگیریم، حداکثر تابع درستنمایی در می‌باشد، درحالی‌که حداکثر مطلق در به‌دقت می‌آید. لذا برای اجتناب از این خطاها بهتر است مقدار اولیه را اندکی تغییر دهیم تا اگر جواب دیگری نیز وجود دارد به‌دقت آید.
نکته دیگر آنکه، فرض بر این است که جمله خطا ( ) توزیع نرمال دارد و بر اساس آن تابع درستنمایی را تشکیل می‌دهیم. اما ممکن است این فرض برقرار نباشد.
برای آزمون نرمال بودن ابتدا باقیمانده‌ها را که از تخمین معادله (۲-۵۴) به‌دست می‌آید، استاندارد کرده و آن را با نشان می‌دهیم:
(۲-۵۷)
نیز از مدل (۲-۵۴) به دست می‌آید:
(۲-۵۸)
در واقع جمله خطای مدل (۲-۵۴) بر انحراف معیار شرطی تقسیم شده است. بر اساس داده‌های نمونه می‌توان (۲-۵۹) را به‌صورت زیر نوشت:
(۲-۵۹)
باقیمانده‌های استانداردشده می‌باشد. بنابراین، فرض نرمال بودن را برای بررسی می‌کنیم که آیا توزیع نرمال استاندارد دارد یا نه.
اگر توزیع نرمال نداشته باشد، تخمین پارامترها سازگار است، ولی تخمین باقیمانده‌ها با خطا همراه است و لذا واریانس پارامترها نیز متفاوت خواهد بود. در این حالت از روش شبه حداکثر درست‌نمایی (QML)^[192] استفاده می‌شود.
۲-۳-۶-۴- نااطمینانی خاص شرکت