جدول ۳-۲: توان آشکارساز از آزمون فیشر^[۵۷]
حال این سوال مطرح می­ شود که، با توجه به این حقیقت که دوره­نگارهای چندکی با طیف عبور از سطح در ارتباط هستند، چرا نمی­توانیم به سادگی دوره­نگارهای عادی را برای فرایند عبور از سطح بررسی کنیم؟ در نگاه اول سادگی این روش توجه فرد را به خود جلب خواهد کرد زیرا دوره­نگار عادی را می­توان به وسیله تبدیل فوریه سریع محاسبه کرد، اما از دست دادن اطلاعات در تبدیل کردن یک سری زمانی حقیقی مقدار به یک فرایند عبور از سطح دو دویی ممکن است میزان کارایی را کاهش دهد. این امر در جدول ۳-۲ نشان داده شده است (به ستون با عنوان عبور از سطح مراجعه کنید). در مقایسه با دوره­نگار چندکی­ با ، قدرت آشکارسازی دوره­نگار عادی متناظر با فرایند عبور از سطح ۱۱% تا ۲۸% کاهش خواهدداشت.

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

در پایان، به این نکته اشاره می­کنیم که تحلیل مجانبی ارائه شده در این بخش را می­توان از جهات مختلف مورد بررسی قرار داد. به عنوان مثال، می­توان توزیع توأم مجانبی دوره­نگار های چندکی را در چندک­های مختلف، با هدف درک بهتر رفتار دوره­نگارهای چندکی بدست آورد. همچنین می توان خواص حدی دوره­نگارهای چندکی را در چندک­های بسیار بالا مربوط به حجم نمونه بررسی کرد. این امر می ­تواند به روشن شدن توانایی دوره­نگارهای چندکی در تحلیل وابستگی در مقادیر غایی سری زمانی کمک کند. همچنین ممکن است بتوان دوره­نگارهای چندکی را به داده ­های چند بعدی گسترش داد. در نهایت، به راحتی می توان دوره­نگار چندکی نوع اول را، با توجه به مطالب گفته شده در Li (2010)، برای تحلیل انسجام طیفی در سری­های زمانی چندگانه بکار گرفت.
فصل چهارم
مطالعه شبیه سازی
در این بخش، چند مثال شبیه­سازی شده را ارائه می­کنیم که مزایای عملی دوره­نگار لاپلاسی نسبت به دوره­نگار عادی را نشان می­دهد و نتایج تئوری ارائه شده در بخش­های قبل را تایید می­نماید.
۴-۱ برآورد طیف استوار
در اولین مثال، به بررسی دوره­نگار لاپلاسی و دوره­نگار عادی در تحلیل سری­های زمانی با طیف پیوسته می­پردازیم.
مثال ۴-۱
فرض کنید ، ، باشد که در آن یک فرایند گاوسی است که در آن
، ، و مستقل و هم­توزیع دارای توزیع هستند. می­توان نشان داد که و
است.
شکل ۴-۱ نتیجه شبیه­سازی بر اساس ۵۰۰ بار اجرای شبیه­سازی مونت کارلو را نشان می­دهد که در آن
، ، و در نظر گرفته شده است. در این مثال، طیف لاپلاسی، بر اساس رابطه (۲-۱۲) محاسبه شده است، همانند تابع طیف توان دارای ویژگی­های میان گذر^[۵۸] است و میانگین شبیه­سازی شده از دوره­نگار لاپلاسی به تابع طیف لاپلاسی بسیار نزدیک است. همچنین، شکل ۴-۱ نشان می­دهد که هموار­سازی به کاهش تغییرپذیری در دوره­نگار لاپلاسی، که برآوردی از طیف لاپلاسی است، کمک می کند.
شکل ۴-۱: دوره­نگار لاپلاسی به عنوان تابعی از برای فرایند AR(2) در مثال۴-۱. (a) دوره­نگارهای خام (ریشه میانگین مربعات خطا (RMSE=0.945). (b) دوره­نگارهای هموار شده به وسیله هموار سازی اسپلاین­ (RMSE=0.675). توجه کنید که: -، طیف لاپلاس صحیح؛ —، میانگین نمونه از ۵۰۰ دوره­نگارهای لاپلاسی مستقل؛ ……، ۱۰ و ۹۰ درصد از دوره­نگارهای لاپلاسی؛ -.-.-.- در (a)، طیف توان درست است.
با توجه به قضیه ۲-۳، یکی از مزیت­های طیف لاپلاسی نسبت به طیف توان عادی این است که طیف لاپلاسی (تا چند برابر ثابت) نسبت به هر تبدیل غیر خطی بی­حافظه­ای که علامت داده ­های سری زمانی را حفظ می­ کند ناوردا است. یک مثال کاربردی از چنین تبدیلات غیرخطی را می­توان تبدیلات غیر­خطی و قطع بی نظمی ها در اکتساب داده و انتقال سیستم ها است. (Bahai et al (۲۰۰۲) و Chorti و Brookes (۲۰۰۶) ). این نوع از غیرخطی بودن به عنوان عامل بی­نظمی ها در طیف توان شناخته شده است (Wise و Traganitis و Thomas (۱۹۷۷)) و نمی تواند به عنوان یک نوفه جمع مدل­بندی شود. همانطور که در مثال بعد نشان داده می­ شود، دوره­نگار لاپلاسی یک ابزار موثر برای مواجحه با این قبیل غیر­خطی­ها است.
مثال ۴-۲
فرض کنید ، ، باشد که در آن فرایند معرفی شده در مثال ۴-۱ و یک تابع حفظ علامت^[۵۹] است بطوریکه و . از آنجایی که این تبدیل طیف عبور از صفر را تغییر نمی­دهد و مفروضات قضیه ۲-۳ را نقض نمی­کند، دوره­نگار لاپلاسی } دارای توزیع مجانبی مشابه است، بااین تفاوت که باید به وسیله در محاسبه جایگزین شود که درنتیجه خواهیم داشت . شکل ۴-۲ نتیجه شبیه­سازی انجام شده با
را نشان می­دهد که در آن است. در این حالت، طیف لاپلاسی تنها مضرب ثابتی از طیف لاپلاسی نشان داده شده در شکل ۴-۱، با مضرب
خواهد بود. این طیف، که در شکل ۴-۲(a) با بهره گرفتن از خط نشان داده شده است، در کنار میانگین شبیه­سازی شده از طیف لاپلاسی در تمامی فرکانس­ها رسم شده است. در مقابل، دوره­نگار عادی به وسیله این تبدیل غیرخطی تغییر شکل داده است که این امر را می­توانید در شکل ۴-۲(b) مشاهده کرد. در حقیقت، ارتفاع قله تابع طیف کاهش پیدا کرده است. ملاحظه می­کنید که تغییر در مقیاس طیف توان، در شکل ۴-۲(b) (خط پر رنگ)، در نتیجه واریانس است نه مقدار .
شکل۴-۲: (a) دوره­نگار لاپلاسی (ریشه میانگین مربعات خطا (RMSE=0.677)، مشابه شکل ۴-۱. (b) با این تفاوت که داده ­ها به وسیله تبدیل غیر خطی در مثال ۴-۲ بحث شده است. (b) دوره­نگار عادی برای داده مشابه (RMSE=2.01)، با خط جامد به نمایندگی از طیف توان بدون تغییر شکل فرایند.
با توجه به اینکه دوره نگار لاپلاسی بر اساس روش LAD در رگرسیون پایه­گذاری شده است، انتظار می­رود که در برابر وجود داده پرت از دوره­نگار عادی استوارتر باشد. در مثال بعد به بررسی این موضوع می­پردازیم.
مثال ۴-۳
فرایند AR(2) بیان شده در مثال ۳-۱ را در نظر بگیرید و فرض کنید که مشاهدات این فرایند به وسیله یک فرایند نوفه آلوده شده ­اند. به طور خاص، فرض می­کنیم که به طور تصادفی ۱۰۰% از نقاط را انتخاب و با جمع نوفه مستقل و هم­توزیع با ، که در آن است، این داده ­ها را آلوده می­کنیم. شکل
۴-۳ نتیجه شبیه­سازی با و را نشان می­دهد. همانطور که دیده می­ شود، این تغییر دارای تاثیر چندانی بر روی دوره­نگارهای لاپلاسی نبوده است و این در حالی است که این تغییر در دوره­نگار عادی تاثیر بسزایی داشته است. در حقیقت، قله طیف در دوره­نگار لاپلاسی برجسته باقی می­ماند اما در دوره­نگار عادی تقریبا ناپدید شده است.
شکل ۴-۳: (a) دوره­نگار لاپلاسی (ریشه میانگین مربعات خطا (RMSE=1.01)، مشابه شکل ۴-۱. (b) با این تفاوت که داده ­ها به وسیله نوفه آلوده شده ­اند که در مثال ۴-۳ بحث شده و خط جامد نشان دهنده طیف لاپلاس از فرایند آلوده نشده است. (b) دوره­نگار عادی برای داده مشابه (RMSE=6.28)، مشابه شکل ۴-۲ (b) با این تفاوت که خط جامد به نمایندگی از طیف توان فرآیندهای آلوده نشده­اند.
با توجه به لم ۲-۱ می­توان طیف عبور از صفر را با چهار برابر کردن دوره­نگار عادی در سری زمانی دودویی ، ، برآورد کرد. از آنجایی که طیف لاپلاسی با طیف عبور از سطح متناسب است، با ضرب دوره­نگار عادی برای سری زمانی در برآوردگر از می­توان یک برآوردگر ساده برای طیف لاپلاسی بدست آورد. این روش ساده دارای مزیت محاسباتی برای دور­ه­نگار لاپلاسی است زیرا دوره­نگار عادی به راحتی به وسیله تبدیل فوریه سریع محاسبه می­ شود. با این حال، در این روش ساده ممکن است کارایی کاهش یابد. در ادامه، با بهره گرفتن از شبیه­سازی، به مقایسه کارایی این روش­ها می­پردازیم. برای این کار، در نمونه ­ای که به وسیله شبیه­سازی مونت کارلو ساخته شده است دو نوع میانگین مربعات خطا را محاسبه می­کنیم:

که در آن و است. جدول ۴-۱ ریشه میانگین مربعات خطا^[۶۰] (RMSE) برای شبیه­سازی انجام شده از فرایند تعریف شده در مثال ۳-۱ را با و ارائه می­دهد. در برآوردگر ساده، با توجه به اینکه برای فرایند­های گاوسی ، به وسیله برابر کردن واریانس نمونه برآورد شده است. همانطور که دیده می­ شود، دوره­نگار لاپلاسی در همه موارد، بجز زمانی که نوفه سفید () را در نظر می­گیریم، عملکرد بهتری دارد. با افزایش به سمت یک و تیزتر شدن قله طیف، اختلاف بین دو برآوردگر آشکارتر می­ شود.