پایان نامه کارشناسی ارشد

موضوع:

جهت یابی سیگنال­های پهن باند در سیستم های مخابراتی

DOA Estimation For Wideband Signals In Communication Systems

توسط:

روزبه خلیلی

استاد راهنما:

دکتر مهرزاد بیغش

دکتر عباس شیخی

اساتید مشاور:

دکتر محمود کریمی

دکتر مصطفی درختیان

سپاسگزاری

در اینجا برخود لازم می‌دانم که از کلیه افرادی که به نحوی مرا در انجام این پایان نامه یاری رساندند، تشکر و قدردانی نمایم. به خصوص اساتید گرامی، جناب آقای دکتر بیغش دکتر شیخی و دکتر درختیان و دکتر کریمی که در تمامی مراحل انجام این پروژه به اینجانب یاری رساندند و در نهایت تمامی دوستانی که در طول انجام این پایان نامه همراه و راهنمای من بوده‌اند، سپاسگزاری می‌کنم.

تقدیم به:

فهرست مطالب

عنوان صفحه

چکیده ۱

مقدمه ۲

 : 

۱-۱- مقدمه ۴

۱-۲- انتشار امواج ۴

۱-۳-سنسورهای آرایه ای ۶

۱-۴- پردازش سیگنال آرایه خطی ۷

۱-۴-۱- فرضیات پایه ۷

۱-۴-۱-۱- میدان دور ۷

۱-۴-۱-۲- سیگنال باند باریک ۷

۱-۴-۱-۳- ایستائی ۸

۱-۴-۱-۴- سیگنال های چندگانه ۸

۱-۴-۱-۵- نویز (Noise) 8

۱-۵- تبدیل مکان – زمان ۹

۱-۶- سیگنال های تصادفی ۱۰

۲-۱-مقدمه ۱۵

۲-۲-روش های مبتنی بر پایه طیف ۱۵

۲-۳-روش های شکل دهی پرتو ۱۵

۲-۳-۱-روش شکل دهی پرتو متعارف ۱۵

۲-۳-۲- روش کاپون ۱۷

۲-۳-۳- روش های مبتنی بر زیر فضا ۱۹

۲-۳-۴-معرفی روش ۲۰

۲-۳-۵- الگوریتم ۲۱

۲-۳-۶- معرفی روش ۲۳

۲-۳-۷-مدل داده ها ۲۵

۲۸

۲-۴-آنتن های آرایه ای ۳۱

۲-۵- مدل سیگنال ۳۵

۲-۶- ماتریس کوواریانس ۳۶

۳-۱- مقدمه ۳۹

۳-۲- معرفی سیگنال های باند پهن ۳۹

۳-۳- معرفی تکنیک های مختلف جهت یابی سیگنال های باند پهن ۴۱

۳-۳-۱- مدلسازی داده های باند پهن ۴۱

۳-۳-۲- معرفی اجمالی روش های جهت یابی سیگنال های باند پهن با بهره گرفتن از بانک فیلتر ۴۲

۳-۳-۳- مدل فرکانسی سیگنال باند پهن ۴۴

۳-۳-۴- الگوریتم های مختلف جهت یابی سیگنال های پهن باند ۴۷

۳-۳-۵- روش های جهت یابی ناهمبسته ۴۷

۳-۳-۶- روش های ناهمبسته فرکانسی ۴۸

۳-۳-۷- فرم دهنده بیم به روش کاپون ۴۸

۳-۳-۸- میانگین گیری حسابی ۵۱

۳-۳-۹- روش میانگین گیری هندسی ۵۲

۳-۳-۱۰- روش میانگین گیری هارمونیک ۵۳

۳-۳-۱۱- الگوریتم موزیک پهن باند ۵۳

۳-۳-۱۲- الگوریتم وزن دهی مناسب زیرفضاها ۵۵

۳-۳-۱۳- محاسبه تخمین به روش ۵۸

۳-۳-۱۴- ملاحظات عملی در روش ۶۰

۳-۳-۱۵- روش های جهت یابی همبسته زیرفضایی() ۶۲

۳-۳-۱۶- روش ماتریس تمرکز قطری ۶۲

۶۴

۳-۳-۱۸- استفاده از ماتریس کانونی در روش ۶۶

۳-۳-۱۹– روش وزن دهی متوسط به زیر فضاهای سیگنال() ۶۷

۴-۱- مقدمه ۷۰

۴-۲- مفاهیم پایه ۷۰

۴-۳- ارائه یک مدل ریاضی ۷۱

۴-۴- توسعه الگوریتم به فضای چند بعدی ۷۶

۴-۵- تصویر در راستای زیرفضای سیگنال ۷۸

۴-۶- الگوریتم محاسبه ۸۰

۴-۶-۱- پیچیدگی محاسبات ۸۱

برای آرایه های خطی ۸۳

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

۵-۱- مقدمه ۸۴

۵-۲- الگوریتم های تخمین ۸۴

۵-۲-۱- معرفی اجمالی الگوریتم های به کار رفته در شبیه سازی ۸۴

۵-۲-۱-۱- بررسی الگوریتم MUSIC و Capon 85

۵-۲-۱-۲- الگوریتم همبستگی زیرفضای سیگنال() ۸۶

۵-۲-۱-۳- ماتریس زیرفضای کانونی سیگنال () ۸۸

۵-۲-۱-۳-۱- الگوریتم محاسبه روش ۸۹

۵-۲-۱-۳-۲-نکات مهم در محاسبه تخمین به روش ۹۰

۵-۳- مدل سازی داده ها ۹۱

۵-۳-۱- خصوصیات منبع سیگنال ارسالی ۹۱

۵-۳-۲- مفروضات داده های دریافتی توسط آرایه آنتن ۹۲

۹۲

۵-۴-۱- سناریوی شماره ۱ ۹۲

فصل ششم: نتیجه‌گیری و پیشنهادات

۶-۱- نتیجه‌گیری ۱۲۲

۶-۲- پیشنهادات ۱۲۳

مراجع ۱۲۱

فهرست جداول

عنوان صفحه

جدول شماره (۵-۱)– مبنای شبیه سازی ۹۲

۹۳

فهرست تصاویر

عنوان صفحه

شکل ۱-۱- مختصات کروی ۶

شکل ۱- ۴- پردازش سیگنال در آرایه ای ازآنتن ها شامل آنتن ۱۳

شکل ۲-۱- هندسه آرایه ۲۴

شکل ۲-۲- نمایش آرایه ها برای الگوریتم ۲۵

۲۹

۲۹

شکل ۲-۵- آرایه خطی ۳۲

شکل ۲-۶- نمونه برداری فضایی از سیگنال ارسالی توسط آرایه خطی از آنتن ها ۳۳

شکل ۳-۱- الف - آرایه خطی ۴۵

شکل ۳-۱- ب آرایه دایره ای ۴۶

شکل ۳-۲- الگوی پرتودهی در روش کاپون به ازای منبع ارسالی ۰db در بین فرکانسی ۱۵۰ هرتز و دریافتی توسط آرایه ای از ۲۰ سنسور ۴۹

۵۰

۹۴

۹۴

۹۵

۹۶

۹۷

۹۷

۹۸

۹۸

۹۹

۹۹

۱۰۰

۱۰۰

۱۰۱

۱۰۱

۱۰۲

۱۰۲

۱۰۳

۱۰۳

۱۰۴

۱۰۴

۱۰۵

۱۰۵

۱۰۶

۱۰۶

۱۰۷

۱۰۷

۱۰۸

۱۰۸

۱۰۹

۱۰۹

۱۱۰

۱۱۰

۱۱۱

۱۱۱

۱۱۴

۱۱۵

۱۱۵

۱۱۶

۱۱۶

۱۱۷

۱۱۷

۱۱۸

۱۱۸

۱۱۹

چکیده:

جهت یابی سیگنال­های پهن باند

DOA Estimation for Wideband Signals

یکی از مهم­ترین کاربردهای آرایه ها، تحمین جهت یابی سیگنال­های انتشار یافته درمحیط می باشد. بسیاری از روش­های جهت یابی از دیرباز مورد استفاده قرار می­گیرند که به مرور زمان تغییراتی در آن­ها صورت گرفته است. بسته به شرایط محیط، ممکن است یکی از روش­های جهت یابی عملکرد بهتری نسبت به سایر روش­ها داشته باشد. نکته­ای که مطرح است اینکه اغلب روش­های جهت یابی برای سیگنال­های باریک باند طراحی شده ­اند. در عمل ممکن است سیگنال­هایی که در محیط وجود دارند یا پهن باند باشند و یا اینکه در بین­های فرکانسی مختلفی قرار داشته باشند.یکی از متداول ترین روش­ها در جهت یابی سیگنال­های پهن باند این است که سیگنال پهن باند را به بین­های مختلف فرکانسی تفکیک نموده و سپس پردازش­های لازم را در حوزه فرکانس انجام دهیم. بر این اساس روش­های مختلفی برای جهت یابی سیگنال­های پهن باند بیان شده است.در برخی از روش­ها جهت یابی هر بین فرکانسی به صورت مستقل از سایر بین­ها پردازش می گردد، که به روش­های ناهمبسته مشهور هستند. برخی دیگر از روش­ها اطلاعات بین­های مختلف فرکانسی را به صورتی با یکدیگر ترکیب می­ کند و سپس جهت یابی را انجام می­دهد (روش­های همبسته). مشکل بزرگ روش­های همبسته این است که بایستی در ابتدا تخمین اولیه­ای از زوایای ورود منابع داشته باشیم. برخی از روش­ها نیز هستند که ماهیت آن­ها متفاوت از روش­های همبسته و ناهمبسته است و می­توان گفت حالت بین این دو روش هستند. از جمله این روش­ها می­توان به TOPS^[1] اشاره کرد. که برای رفع مشکل تخمین اولیه زوایا در روش­های همبسته معرفی شده است.هدف از این پایان نامه بررسی روش های مختلف جهت یابی سیگنالهای پهن باند و مقایسه نحوه عملکرد هر یک می باشد.

مقدمه:

در این فصل از پایان نامه مطالبی به اختصار در جهت آشنایی با مفاهیم پایه میدان‌های الکترومغنطیسی، روش‌های مختلف جهت یابی برای سیگنال‌های باند باریک معرفی گردیده و مزایا و چالش‌های اجرا هر یک از این الگوریتم‌ها مورد بررسی قرار می‌گیرد. (فصل اول و دوم)

یکی از موارد بسیار مهم جهت یابی سیگنال‌ها، کاربرد آن در جهت دهی بین تشعشعی آنتن‌ها به منظور ایجاد حداکثر توان ممکن در جهت هدف می‌باشد همچنین به منظور جهت یابی اهداف در ابتدا می‌بایست زاویه ورود هر سیگنال را به آرایه مشخص نمود. با بهره گرفتن از مفاهیم و روش‌های مطرح شده برای سیگنال‌های باند باریک و توسعه آن بر اساس سیگنال‌های باند پهن در فصل سوم به معرفی اگوریتم های مختلف باند پهن ودسته بندی آن پرداخته خواهد شد. یکی از متداول ترین روش­ها در جهت یابی سیگنال­های پهن باند این است که سیگنال پهن باند را به بین­های مختلف فرکانسی تفکیک نموده و سپس پردازش­های لازم را در حوزه فرکانس انجام دهیم. بر این اساس روش­های مختلفی برای جهت یابی سیگنال­های پهن باند بیان شده است.در برخی از روش­ها جهت یابی هر بین فرکانسی به صورت مستقل از سایر بین­ها پردازش می گردد، که به روش­های ناهمبسته مشهور هستند. برخی دیگر از روش­ها اطلاعات بین­های مختلف فرکانسی را به صورتی با یکدیگر ترکیب می­ کند و سپس جهت یابی را انجام می­دهد (روش­های همبسته). مشکل بزرگ روش­های همبسته این است که بایستی در ابتدا تخمین اولیه­ای از زوایای ورود منابع داشته باشیم. برخی از روش­ها نیز هستند که ماهیت آن­ها متفاوت از روش­های همبسته و ناهمبسته است و می­توان گفت حالت بین این دو روش هستند(فصل چهارم). از جمله این روش­ها می­توان به TOPS^[2] اشاره کرد [۱۶] که برای رفع مشکل تخمین اولیه زوایا در روش­های همبسته معرفی شده است. در فصل آخر با بهره گرفتن از شبیه سازی متلب الگوریتم های همبسته ونا همبسته، را پیاده سازی نموده و نتایج و چالش های مطرح شده را مورد بررسی قرار خواهیم داد.

فصل اول

اصول انتشار امواج

۱-۱- مقدمه

در این فصل به صورت خلاصه خروجی آنتن های آرایه ای را پردازش خواهیم نمود. بر این اساس ابتدا میدان انتشار اسکالر^[۳] آنتن های آرایه ای را توضیح داده و سپس به معرفی سیگنال های باند باریک خواهیم پرداخت و در انتها مدل آرایه ای آنتن ها را در انتقال سیگنال های با پهنای باند گسترده (سیگنال پهن باند) تعریف خواهیم نمود.

۱-۲- انتشار امواج

همان طور که می دانیم بر اساس معادله ماکسول تابع انتشار موج متغیری از زمان و مکان می باشد. لذا معادله موج سیگنال های الکترو مغناطیسی با توجه به معادله ماکسول به صورت زیر تعریف می گردد:

(۱-۱)

که در آن شدت میدان الکتریکی، سرعت انتشار موج، عملگر لاپلاسین

(۱- ۲)

و بردار مکان تعریف می گردد. پس از اعمال به عنوان میدان اسکالر عمومی، معادله سیگنال موج ارسالی در لحظه t و موقعیت مکانی بر اساس معادله زیر محاسبه می گردد :

(۱- ۳)

که جواب معادله دیفرانسیلی بالا (شکل موج دریافتی) معمولاً به شکل زیر بیان می گردد:

(۱- ۴)

با جایگذاری معادله (۱-۴) در معادله (۱-۳) عبارت زیر حاصل می گردد:

(۱- ۵)

به ازای کلیه مقادیر ,, که در معادله بالا صادق باشد، جواب معادله موج را می توان به شکل قطبی زیر نمایش داد.

(۱- ۶)

که در آن را بردار عدد موج و تابع نمایی را تابع صفحه موج تک رنگ^[۴] می نامند. میدان اسکالر را می توان به صورت ترکیب تمامی صفحه های موج برای تمامی فرکانس ها به صورت آن چه در ادامه آمده است، بیان نمود[۱]:

(۱- ۷)

که در آن

(۱- ۸)

و با توجه به این که

(۱- ۹)

طبق رابطه (۱- ۵) نتیجه می شود:

(۱- ۱۰)

و مقدار فاز در رابطه (۱- ۶) به صورت زیر خواهد بود:

(۱- ۱۱)

معمولاً جهت و سرعت انتشار، با بردار (بردار آهستگی^[۵]) معرفی می گردد. با توجه به روابط بالا واضح است که اندازه بردار برابر با عکس سرعت انتشار می باشد. با بهره گرفتن از مختصات کروی مطابق شکل (۱-۱)
می توان را به صورت زیر نمایش داد:

(۱- ۱۲)

با جایگذاری رابطه بالا در معادله مکان – زمان، تابع انتشار سیگنال به صورت زیر به دست می آید:

(۱- ۱۳)

کهS() تبدیل فوریه تابع می باشد.

x

y

z

شکل ۱-۱- مختصات کروی

با توجه به این که تابعی از ۴ متغیر می باشد، می بایست تبدیل فوریه چهار بعدی
گرفته شود. بنابراین تبدیل فوریه تابع سیگنال ارسالی به صورت زیر تعریف می گردد:

(۱- ۱۴)

و میدان موج در راستای محور یعنی به صورت زیر محاسبه می گردد:

(۱- ۱۵)

۱-۳-سنسورهای آرایه ای

هنگامی که آرایه ای از سنسورها در نقاط مختلفی پخش شده باشد، به طور هم زمان سیگنال های ارسالی توسط سنسورها نمونه برداری و ثبت می گردد. به بیان دیگر، سیگنال های آرایه شامل سیگنال های
انتشار یافته و نمونه برداری شده (فضایی و زمانی) توسط هر سنسور می باشد. سیگنال دریافتی توسط سنسور شماره را می توان به وسیله بردار (مکان سنسور ) نمایش داد. هنگامی که تعداد منبع ارسال سیگنال در جهت متفاوت موجود باشد، آنگاه سیگنال نمونه برداری شده در سنسور ام به شکل زیر خواهد بود:

(۱- ۱۶)

در این رابطه نویز جمع شونده در سنسور ام می باشد. فرض بر این است که نسبت به سیگنال ارسالی ناهمبسته و از نظر فضایی و زمانی یک فرایند سفید باشد (نویز سفید و ناهمبسته نسبت به منبع موج ارسالی). حتی در صورتی که فرایند نویز سفید نباشد، با مشخص بودن ماتریس کوواریانس آن
می توان فرایند را سفید نمود. به طور خلاصه سیگنال دریافتی در هر سنسور چیزی به جز مجموع سیگنال منبع ارسال موج که به علت فاصله سنسورها با اختلاف زمانی متفاوت از یکدیگر ایجاد می گردد، نیست. از نقطه نظر گیرنده، پارامترهایی که می بایست تخمین زده شود،‌ شامل تعداد منابع تولید کننده سیگنال()، نوع سیگنال ارسالی، زاویه افقی ورود سیگنال و زاویه فراز می باشد.

موضوع اصلی این پایان نامه، تخمین زاویه و زاویه است با این فرض که تعداد منابع ارسال سیگنال یا مشخص است و یا درست تخمین زده شده باشد ( معلوم می باشد).

۱-۴- پردازش سیگنال آرایه خطی

در این بخش موضوعات مربوط به پردازش سیگنال و روش های مورد استفاده برای تخمین جهت سیگنال دریافتی توضیح داده خواهد شد.

۱-۴-۱- فرضیات پایه:

۱-۴-۱-۱- میدان دور

هنگامی که فاصله بین منبع ارسال سیگنال تا گیرنده نسبت به ابعاد سنسور آرایه بسیار بزرگ باشد، سیگنال دریافتی توسط سنسورها به صورت میدان صفحه ای مفروض خواهد بود. با این فرض زاویه مشاهده سیگنال هر منبع نسبت به کلیه سنسورها یکسان می گردد. برای درست بودن فرض بالا می بایست شرایط ناحیه فرونهافر^[۶] برقرار باشد[۳]:

(۱- ۱۷)

که قطر کوچکترین کره در بر گیرنده کل آرایه و فاصله از منبع می باشد.

۱-۴-۱-۲- سیگنال باند باریک

سیگنال ارسالی با فرکانس حامل و تابعی از زمان به شکل زیر معرفی می گردد:

(۱- ۱۸)

و به ترتیب دامنه و فاز تابع می باشد. اگر را زمان تاخیر انتشار بین سنسورها در نظر بگیریم، در صورتی که و نسبت به تغییرات بسیار جزئی داشته باشد، (اصطلاحاً تغییرات کندی نسبت به داشته باشد) روابط زیر را خواهیم داشت :

(۱- ۱۹)

(۱- ۲۰)

پس طبق روابط بالا انتقال زمانی تابع به شکل زیر در می آید:

(۱-۲۱)

بنابراین با بهره گرفتن از اعداد مختلط، شیفت زمانی را می توان به صورت حاصل ضرب یک عدد مختلط با فاز ثابت نمایش داد.

۱-۴-۱-۳- ایستائی^[۷]

یکی دیگر از فرضیات پایه به صورت زیر بیان می گردد:

اطلاعات دریافتی توسط آرایه آنتن دارای خاصیت ایستایی ضعیف می باشد. در عمل، فرض ایستایی ضعیف در محاسبه ماتریس کوواریانس داده های دریافتی، مورد استفاده قرار می گیرد. برای این که سیگنال دریافتی دارای خاصیت ایستایی ضعیف باشد، در هنگام نمونه برداری از داده ها، می بایست منابع ارسال سیگنال و سنسورهای دریافت کننده بدون شتاب باشند.

۱-۴-۱-۴- سیگنال های چندگانه

اگر چندین سیگنال از منابع متفاوت توسط آرایه سنسورها دریافت گردد، این سیگنال ها می بایست از نظر زمانی^[۸] نسبت به هم ناهمبسته^[۹]بوده و یا به عبارت دیگر ناهمبسته زمانی^[۱۰] باشند.

۱-۴-۱-۵- نویز (Noise)

فرض بر این است که نویز موجود در داده های اندازه گیری شده نسبت به سیگنال های ارسالی، ناهمبسته زمانی هستند. هم چنین نویز دریافتی دارای میانگین صفر بوده و از لحاظ زمانی و فضایی، فرآیندی سفید و نسبت به زمان و مختصات فضایی ناهمبسته می باشد.-

۱-۵- تبدیل مکان – زمان^[۱۱]

در سیگنال های زمانی، اطلاعات از طریق تغییر سیگنال در حوزه زمان انتقال پیدا می کند. برای چنین سیگنال هایی تبدیل فوریه متداول به صورت زیر تعریف می گردد:

(۱- ۲۲)

(۱- ۲۳)

که ، معرف سیگنال در حوزه زمان و تبدیل فوریه آن در حوزه فرکانس می باشد. درحالت کلی موج سیگنال تابعی از مکان و زمان است. تابع سیگنال در حوزه مکان– زمان^[۱۲] به صورت نشان
می دهند که در آن پارامتر مکان و t پارامتر زمان است. تبدیل فوریه سیگنال مکان- زمان به شکل زیر تعریف می گردد:

(۱- ۲۴)

که مختصات بردار مکانی و بردار عدد موج^[۱۳]بوده و به صورت زیر قابل تعریف است:

(۱- ۲۵)

در رابطه فوق سرعت جبهه موج و بردار واحد نرمال در جهت انتشار جبهه موج می باشد. تبدیل فوریه معکوس نیز به شکل زیر تعریف می گردد:

(۱- ۲۶)

که، و المان های در مختصات دکارتی تعریف می گردد. هم چنین به نام فرکانس های فضایی و یا اعداد موج^[۱۴] شناخته می شود.

زوج تبدیل فوریه (۱- ۲۴) و (۱- ۲۶) یک رابطه دوگانی در حوزه زمان و مکان را نسبت به پارامترهای وابسته به آن نمایش می دهد. در واقع زمان و فرکانس دارای خاصیت دوگانی با فضا و عدد موج می باشد. اندازه بردار عدد موج دارای خاصیت دوگانی با فرکانس زاویه ای بوده و هم چنین دوره تناوب سیگنال زمانی دوگان طول موج می باشد. بنابراین:

(۱- ۲۷)

(۱- ۲۸)

علامت اندازه بردار را نشان می دهد. پردازش سیگنال در حوزه مکان با بهره گرفتن از آرایه ای از سنسورها صورت می پذیرد. پردازش سیگنال در حوزه مکان (پردازش فضایی) دوگان پردازش فیلتر در حوزه زمان می باشد. برای اطلاعات بیشتر در رابطه با تشابه پردازش زمانی و مکانی می توان به منبع مراجعه کرد
(. Array Processing and FIR Filtering)

۱-۶- سیگنال های تصادفی^[۱۵]

در بسیاری از کاربردها، ‌سیگنال دریافتی، ذاتاً دارای توزیع تصادفی بوده و یا خود سیگنال ثابت می باشد و پس از انتقال از کانال و سیستم های واسطه با یک سیگنال تصادفی جمع می گردد. در چنین مواردی
نمی توان از فیلتر وفقی^[۱۶]برای آشکارسازی استفاده نمود. بسته به نوع کاربرد سیگنال تصادفی ازمدل های مختلفی برای شبیه سازی آن استفاده می گردد. ولی معمولاً فرض بر این است که نمونه های دریافتی از سیگنال دارای تابع توزیع احتمال^[۱۷] گوسی با میانگین صفر می باشد. این فرض به میزان قابل توجهی در بسیاری از کاربردها قابل قبول است. چون سیگنال ارسالی از ترکیب تعداد بسیار زیادی منابع تصادفی مستقل از هم حاصل می گردد. تنها محدودیت اعمال شده توسط این فرض، گوسی بودن تابع توزیع سیگنال است. گشتاور دوم سیگنال های گوسی برای بیان خصوصیت تابع توزیع احتمال کافی بوده و سایرگشتاورهای بعدی آن یا صفر بوده و یا از روی گشتاور دوم^[۱۸] قابل محاسبه است.

تابع همبستگی یک سیگنال تصادفی به صورت

(۱- ۲۹)

تعریف می گردد. که این تابع دارای هشت متغیر (دو متغیر زمان و و شش متغیر مکان می باشد. اگر سیگنال در حوزه زمان همگن^[۱۹] باشد، تابع همبستگی در حوزه زمان تابعی از تغییرات می گردد. برای این سیگنال، چگالی طیف متقابل^[۲۰] به صورت زیر تعریف می گردد:

(۱- ۳۰)

اگر سیگنال در حوزه مکان(مختصات فضایی) نیز همگن باشد، تابع همبستگی وابسته به تفاضل پارامتر می گردد (همبستگی تابعی از و به شکل است). در این حالت چگالی طیف فرکانس – عدد موج^[۲۱]برای این سیگنال به صورت زیر قابل تعریف می باشد:

(۱- ۳۱)

که در حقیقت تبدیل فوریه تابع همبستگی در حوزه زمان و مکان است. طیف فرکانس– طول موج در واقع تبدیل تابع سیگنال در حوزه زمان – مکان^[۲۲] به پارامترهای معادل سیگنال در حوزه فرکانس- طول موج
می باشد. در ادامه چند حالت مهم برای این تابع معرفی می گردد.

برای منبع نقطه ای در حالت سیگنال باند باریک، طیف سیگنال می تواند به صورت زیر معرفی گردد:

(۱- ۳۲)

که تابع دلتای دیراک^[۲۳] می باشد که نمایش آن در حوزه فرکانس – عدد موج^[۲۴] به صورت یک نقطه (مطابق شکل ۱-۳A) در می آید. باید به این نکته توجه کرد که شکل (۱- ۳) به صورت نمادین بوده چرا که عدد موج به صورت یک بردار سه بعدی در راستای تعریف می گردد.

در بعضی از کاربردها سیگنال تولید شده، در واقع یک سیگنال پهن باند است که توسط یک منبع نقطه ای^[۲۵] ایجاد گردیده و طیف آن را می توان به شکل

(۱- ۳۳)

بیان کرد. به عنوان مثال شکل (۳-۱B) دو منبع پهن باند نقطه ای با دو عدد موج متفاوت و دارای پهنای باند یکسان را نمایش می دهد.

عدد موج

شکل ۱- ۳- مشخصات منابع بر اساس فرکانس موج ارسالی و عدد موج مربوطه در حوزه فرکانس – عدد موج

هم چنین سیگنال ها می توانند در حوزه مکان (فضا) گسترده شده باشند (توزیع شده باشند^[۲۶]). به عنوان مثال دو سیگنال باند باریک گسترده در فضا در شکل ۱- ۳C نمایش داده شده است. این دو سیگنال دارای فرکانس یکسان و گستره عدد موج متفاوت می باشند. به طور کلی می توان این سیگنال را به صورت زیر نمایش داد:

(۱- ۳۴)

هنگامی که دو سیگنال زمانی،‌ هیچ گونه تداخل فرکانسی نداشته باشند^[۲۷]، به وسیله یک فیلتر میان گذر
می توان این دو سیگنال را از هم جدا نمود. به طور مشابه می توان همین روش را در حوزه فضا به کار برد. بدین صورت که اگر دو سیگنال دارای اعداد موج متفاوتی باشند، با بهره گرفتن از فیلتر فضایی^[۲۸] می توان آن دو را تفکیک نمود. شایان ذکر است، فیلتر فضایی را می توان به وسیله آرایه ای از آنتن ها با تنظیم فاصله
بین سنسورها بر اساس تنظیم نمود(مطابق شکل ۱- ۴).

شکل ۱- ۴- پردازش سیگنال در آرایه ای ازآنتن ها شامل آنتن

در حقیقت با بهره گرفتن از آرایه ای از سنسورها می توان سیگنال های با باند فرکانسی یکسان که از منابع متفاوت با جهت های مختلف انتشار یافته اند را تفکیک نمود.

همان طور که می دانیم دامنه و فاز سیگنال دریافتی در هر سنسور (آنتن) تابعی از زاویه ورود سیگنال ارسالی از منبع نسبت به مکان قرارگیری سنسور در فضا (نسبت به نقطه مرجع) است. پس از پردازش خروجی کلیه آنتن ها می توان موقعیت فضایی سیگنال را محاسبه نمود (مثلاً زاویه ورود هر سیگنال را به دست آورد) در فصل بعد چند روش پردازش معرفی خواهد گردید.

فصل دوم

روش های پردازش سیگنال های باند باریک

1.  

۲-۱-مقدمه

با توجه به این که پایه بسیاری از روش های شکل دهی پرتو، تخمین اولیه زاویه ورود سیگنال است، از این رو قبل از اعمال تکنیک های وفقی، لازم است زاویه ورود سیگنال ها به آرایه را تعیین کرد. در نتیجه تخمین زاویه ورودی امواج تشعشع یافته از اهمیت زیادی برخوردار می باشد. برای تخمین زاویه ورود، الگوریتم های مختلفی پیشنهاد شده اند که در این جا به تشریح اهم آن ها پرداخته خواهد شد. در مجموع دو روش کلی برای تخمین زاویه ورود سیگنال، وجود دارد:

1. روش های مبتنی بر پایه طیف
2. روش های پارامتریک

۲-۲-روش های مبتنی بر پایه طیف

در روش های مبتنی بر پایه طیف، طیف سیگنال بر حسب پارامتری به نام مثلاً زاویه دریافتی (نه فرکانس) رسم می شود و بر اساس منحنی به دست آمده، محل پیک منحنی، نمایانگر مکان زاویه ای سیگنال یا زاویه ورود سیگنال است. روش های طیفی خود به دو دسته کلی تقسیم می شوند:

1. روش های شکل دهی پرتو
2. روش های مبتنی بر زیرفضا

۲-۳-روش های شکل دهی پرتو

این روش ها به طور کلی بر این اساس شکل گرفته اند، که با وزن دهی مناسب عناصر آرایه، زاویه پرتو آرایه را در فضا می چرخانیم و در هر زاویه ای که توان دریافتی، بیشینه می شود، بیانگر وجود منبع در آن زاویه خواهد بود. دو روش اصلی مبتنی بر این امر، عبارتند از:

1. روش شکل دهی پرتو متعارف
2. روش کاپون

۲-۳-۱-روش شکل دهی پرتو متعارف^[۲۹]

این روش، به روش بارتلت^[۳۰] نیز معروف است . در این روش توان دریافتی، بدین صورت محاسبه می گردد که در واقع با جاروب کردن یا زاویه ورود موج، مقدار پیک توان را یافته و زاویه ورود را بر این اساس تخمین می زنند.

در واقع سعی بر این است که در هر لحظه جهت دهی پرتوها در یک مسیر خاص صورت پذیرفته و توان خروجی در آن مسیر محاسبه گردد. بر این اساس جهتی که در آن بیشترین توان حاصل شود، یکی از مسیرهای ارسال سیگنال منبع خواهد بود. در روش مذکور به منظور جهت دهی پرتو از یک رابطه خطی به شرح ذیل برای دریافت خروجی استفاده خواهد شد:

(۲- ۱)

فرض کنیم که جهت سیگنال ارسالی، و تابع جهت دهی پرتو بهینه، بردار باشد که توان خروجی را حداکثر می نماید، در این صورت روابط زیر قابل تعریف خواهد بود:

(۲- ۲)

که در آن بردار نویز به عنوان نویز سفید گوسی جمع شونده با میانگین صفر و واریانس و مستقل از سیگنال ارسالی تعریف می گردد. در این حالت توان خروجی با جایگذاری معادله (۲- ۱) در معادله (۲- ۲) به صورت زیر قابل محاسبه خواهد بود:

(۲- ۳)

که ماتریس خود همبستگی بردار خروجی آرایه ای آنتن است. به منظور حداکثر نمودن توان خروجی، با فرض و با توجه به نامساوی کوشی شوارتز داریم:

(۲- ۴)

بنابراین مقدار بردار وزن دهی بهینه بر اساس رابطه بالا برابر با عبارت ذیل است:

(۲- ۵)

با جایگذاری در فرمول توان، توان ماکزیمم برابر با عبارت زیر خواهد شد:

(۲- ۶)

حداکثر مقدار عبارت بالا به ازای حاصل می گردد. در حالت کلی با این روش تخمین زاویه ورود با حداکثر مقدار طیف فضایی برابر خواهد بود:

(۲- ۷)

که در آن ماتریس خودهمبستگی بردار خروجی می باشد. باید توجه داشت زمانی که تعداد منابع بیشتر از یک منبع و فاصله آن ها کم باشد، خروجی این روش دقیق و قابل استناد نخواهد بود. این روش در صورت وجود تنها یک منبع، خروجی صحیح ارائه خواهد داد. بنابراین به طور کلی مشکل اصلی این روش از قرار زیر است:

1. حتی به ازای بالا، با این روش نمی توان دو سیگنال با زاویه نزدیک به هم را تفکیک نمود
2. این روش برای مواقعی که منابع همبسته هستند نیز، پاسخ صحیحی ارائه نمی دهد.

۲-۳-۲- روش کاپون

برای رفع مشکل مطرح شده در بخش قبل و ایجاد توانایی تخمین چند زاویه ورود که از پهنای اشعه متعارف آنتن به هم نزدیک تر هستند، می توان از روش کاپون استفاده نمود. این روش شاید معروف ترین روش کلاسیک برای تخمین زاویه ورود سیگنال باشد.

فرض کنید خروجی المان های آرایه توسط وزن های زیر ترکیب می شوند:

(۲- ۸)

در این رابطه که جهت دید آنتن بوده و . مکان قرارگیری المان های آرایه روی محور ها می باشد که بر مبنای طول موج اندازه گیری شده است. زمانی که بر که همان جهت ورود سیگنال منبع می باشد، منطبق شود، سیگنال های دریافتی، فازهای همدیگر را جبران و به صورت همدوس^[۳۱] با هم جمع می شوند. از این رو سیگنال اصلی، در جهت دید تقویت
می شود، در حالی که سیگنال های ناخواسته دیگر همچون نویز، تقویت نخواهند شد. در این صورت توان خروجی آرایه به صورت زیر محاسبه خواهد گردید:

(۲-۹)

که در آن ماتریس همبستگی سیگنال های دریافتی از آرایه های آنتن می باشد. ایده اصلی روش کاپون (یا روش حداقل واریانس^[۳۲])، استخراج طیف زاویه ای از سیگنال های دریافتی با حداقل نمودن توان یا واریانس خروجی آرایه وفقی برای هر جهت دید، است، تحت این شرط که بهره آنتن در جهت دید برابر با یک باشد. بنابراین اگر، طیف فضایی را به صورت توان خروجی تخمین بزنیم، با حل مسئله فوق، خواهیم داشت:

(۲- ۱۰)

که در آن بردار جهت دهی آرایه^[۳۳] برای چرخاندن پرتو اصلی در زاویه تعریف می گردد. هم چنین یک عدد ثابت می باشد. محدودیت توان در جهت دید، به صورت زیر قابل محاسبه خواهد بود:

(۲- ۱۱)

با توجه به دو رابطه بالا، به صورت زیر اختیار می گردد.

(۲- ۱۲).

در این شرایط، توان خروجی آرایه برابر با مجموعه ای از سیگنال های مطلوب و نامطلوب خواهد بود. این ویژگی، تفکیک پذیری جهت دهنده های متعارف را محدود می نماید. در روش کاپون، سعی بر این است که با فرض ثابت بودن توان سیگنال در جهت زاویه دید مورد نظر، توان خروجی کل آنتن حداقل گردد،که در واقع باعث کاهش سیگنال های نامطلوب خواهد شد.

بر این اساس با بهره گرفتن از رابطه (۲-۹) و با فرض مقدار بهینه رابطه زیر می بایست محاسبه گردد:

(۲-۱۳)

در صورتی که ماتریس کوواریانس، مثبت معین^[۳۴] باشد، جواب معادله فوق به شکل زیر حاصل می گردد:

(۲-۱۴)

به این ترتیب با جایگذاری رابطه (۲-۱۴) در رابطه (۲-۹)، میزان توان خروجی آنتن به صورت زیر محاسبه خواهد گردید:

(۲-۱۵)

با محاسبه نقطه ماکزیمم تابع توان طیف فضایی بالا، مقادیر مورد نظر با بهره گرفتن از روش کاپون
به دست می آید. شایان ذکر است، با وجود این که روش کاپون عملکرد بهتری نسبت به روش جهت دهی متعارف دارد، اما باز هم نحوه عملکرد آن به میزان قابل توجهی تحت تاثیر تعداد المان های آنتن و سیگنال ورودی می باشد. هم چنین این روش برای محاسبه منابع همبسته تولید کننده سیگنال مناسب
نمی باشد.

۲-۳-۳- روش های مبتنی بر زیر فضا

این روش ها به طور کلی بر مبنای مقادیر ویژه و بردارهای ویژه بنا شده اند. در این روش در واقع ماتریس کوواریانس مشاهده به دو زیر فضای عمود بر هم به نام های زیرفضای سیگنال و زیرفضای نویز تقسیم
می گردد. اگر منابع ارسال سیگنال نا همبسته باشند،‌ ماتریس کوواریانس منابع، ‌ رتبه کامل دارد اما در بیشتر کاربردها منابع ارسال سیگنال همبسته می باشند که باعث کاهش رتبه ماتریس می گردد. فرض کنیم که ماتریس منابع دارای رتبه باشد، پس ماتریس به شکل زیر قابل تعریف خواهد بود:

(۲-۱۶)

به سادگی می توان نشان داد که هر برداری که جز فضای صفر^[۳۵] ماتریس باشد یکی از بردارهای ویژه ماتریس بوده که با مقدار ویژه متناظر می باشد. همان طور که قبلاً گفته شد، می بایست مرتبه کامل داشته باشد تا جواب های به دست آمده برای یکتا باشد. بنابراین دارای رتبه بوده و کوچکترین مقدار ویژه ماتریس از مرتبه است.

فرض می کنیم مقادیر ویژه ماتریس کوواریانس بوده، که به صورت نزولی مرتب گردیده اند و بردارهای ویژه متناظر با آن می باشد. تجزیه ماتریس کوواریانس طیف خروجی به صورت ذیل حاصل می گردد:

(۲-۱۷)

(۲-۱۸)

(۲-۱۹)

(۲-۲۰)

(۲-۲۱)

در روابط بالا یک ماتریس قطری شامل بزرگترین مقادیر ویژه کوواریانس بوده که مقادیر ویژه متناظر با سیگنال ارسالی می باشد و از یکدیگر مستقل هستند. در حقیقت، زیرفضای سیگنال های ارسالی توسط بردارهای ویژه ی متناظر با این مقادیر ویژه، گسترش می یابند. بنابراین برد زیر فضای سیگنال و برد زیرفضای نویز بوده که هم چنین بر یکدیگر عمود می باشند (). خاصیت عمود بودن^[۳۶] بیان
می دارد که برد فضای که از رتبه^[۳۷] می باشد، زیرمجموعه ای از برد فضای است و اگر ماتریس کوواریانس منابع از مرتبه کامل باشد ‌، آن گاه این زیرفضاها با یکدیگر برابر خواهند بود.

از اولین روش های بکار برده شده مبتنی بر زیرفضا می توان به روش ، اشاره نمود. در این الگوریتم فرض بر است که سیگنال دلخواه در زیر فضایی کوچکتر از کل فضای در برگیرنده سیگنال ورودی قرار دارد. در ادامه به معرفی این روش پرداخته خواهد شد.

۲-۳-۴-معرفی روش ^[۳۸]

یکی از مشهورترین روش های تشخیص به وسیله تجزیه زیرفضاها، نام دارد که ایده اصلی آن برمبنای این است که فضای تولید شده توسط بردارهای ویژه ماتریس هدایت^[۳۹] با فضای گسترده شده توسط بردارهای ویژه یکسان می باشد. به بیان دیگر با پیدا کردن اشتراک بین ماتریس هدایت و زیرفضای سیگنال می توان تخمینی از را به دست آورد. در عمل ماتریس نامعلوم بوده و فقط نمونه هایی از این ماتریس در دسترس می باشد که آن را با نمایش می دهیم و می توان آن را به وسیله میانگین گیری از نمونه برداری مستقل محاسبه نمود:

(۲-۲۲)

که می توان آن را به صورت زیر تجزیه نمود:

(۲-۲۳)

که و به ترتیب تخمین فضای سیگنال و تخمین فضای نویز می باشند. با توجه به توضیحات مذکور خواهیم داشت:

(۲-۲۴)

بر این اساس عبارت زیر برقرار خواهد بود:

(۲-۲۵)

با توجه به رابطه مذکور، فاصله اقلیدسی بردار از فضای به شکل زیر تعریف می گردد:

(۲-۲۶)

با پیدا کردن به ازای که رابطه بالا را مینیمم می نماید، می توان
های مورد نظر را تخمین زد و یا این که به منظور ساده تر نمودن روش به دست آوردن پاسخ، ماکزیمم تابع را محاسبه نمود. با توجه به توضیحات مذکور،‌طیف مکانی به شکل زیر تعریف
می گردد:

(۲-۲۷)

باید توجه نمود که در روش می بایست منابع سیگنال نسبت به یکدیگر ناهمبسته باشند. هم چنین جهت انجام محاسبات به تعداد قابل توجهی نمونه با قابل قبول نیاز است. به علاوه زاویه ورود منابع نباید به یکدیگر زیاد نزدیک باشد. در صورتی که سیگنال دریافتی کم بوده و یا زاویه منابع به یکدیگر نزدیک و منابع دارای همبستگی باشند، دیگر شرایط عمود بودن^[۴۰] فراهم نبوده و خروجی الگوریتم دارای خطای بالایی خواهد بود.

۲-۳-۵- الگوریتم ^[۴۱]

همان گونه که قبلاً توضیح داده شد، یکی از مشهورترین روش های محاسبه ، استفاده از روش است. اصول کار این روش بر مبنای تجزیه زیرفضاها پایه گذاری شده است. ایده اصلی این الگوریتم محاسبه ماتریس وزن دهی در راستای زیرفضای بردارهای ویژه سیگنال ارسالی “” می باشد. در واقع ماتریس کوواریانس را می توان به صورت ترکیبی از زیرفضای سیگنال و زیرفضای نویز در نظر گرفت.

با در نظر گرفتن مدل ارائه شده در بخش ۲-۳ و با فرض نویز غیر همبسته گوسی با توان قطری (که در آن ماتریس واحد می باشد) معادله (۲-۱۶) به شکل زیر قابل برگردان خواهد بود:

(۲-۲۸)

که در­­ آن، با فرض ناهمبستگی منابع، ماتریس غیرمنفرد^[۴۲] با رتبهمی­باشد .

فرض کنید که تعداد منابع ارسال سیگنال مشخص و برابر با بوده و تنها پارامتر مجهول، محاسبه زاویه ورود سیگنال به آرایه یعنی باشد. بر این اساس در روش ، ماتریس خودهمبستگی به صورت ترکیبی از مقادیر ویژه و بردارهای ویژه زیرفضایی آن تجزیه گشته و به شکل زیر نمایش داده می شود:

(۲-۲۹)

در رابطه فوق نشان دهنده بردارهای ویژه ماتریس و نشان دهنده مقادیر ویژه آن می باشد.

(۲-۳۰)

(۲-۳۱)

که در آن () و ماتریس قطری به صورت نزولی مرتب گردیده است.

با توجه به خصوصیات مقادیر ویژه و بردارهای ویژه، رابطه زیر مشهود می باشد():

() (۲-۳۲)

(۲-۳۳)

با توجه به رابطه (۲-۳۲)و (۲-۳۳) نتیجه زیر حاصل می گردد:

(۲-۳۴)

با توجه به کامل بودن رتبه ماتریس های و ، پاسخ معادله فوق به شکل زیر محاسبه می گردد:

() (۲-۳۵)

عبارت فوق نشان دهنده این مطلب خواهد بود که بردار ویژه متناظر با کمترین مقادیر ویژه ( بر زیر فضای سیگنال در جهت ورودی به آرایه عمود می باشد. این بردارهای ویژه، در حقیقت زیرفضای نویز را ایجاد می نمایند. هم چنین کلیه بردارهای پاسخ آرایه آنتن در جهت زاویه ورود بر این زیرفضا – زیرفضای نویز- عمود خواهد بود. در حقیقت منبع مستقل ارسال سیگنال یک زیرفضای بعدی را تشکیل می دهد که بر زیر فضای نویز همواره عمود است. هم چنین ترکیب زیرفضای نویز با زیرفضای سیگنال کل فضا را شامل می گردد. بنابراین روابط زیر برقرار می باشد:

(۲-۳۶)

که در فرمول بالا نشان دهنده زیرفضای سیگنال و نشان دهنده زیرفضای نویز می باشد.

(۲-۳۷)

(۲-۳۸)

با توجه به رابطه (۲-۳۵) عبارت زیر به ازای برقرار است:

(۲-۳۹)

اگر که تخمین بردارهای ویژه می باشد را در عبارت بالا قرار دهیم خواهیم داشت:

(۲-۴۰)

که در حقیقت، در رابطه فوق مقدار مینیمم تابع محاسبه می گردد. به منظور ساده تر نمودن روش محاسبه می توان، مقدار ماکزیمم تابع زیر را محاسبه نمود:

(۲-۴۱)

۲-۳-۶- معرفی روش ^[۴۳]

روش اولین روش با قدرت تفکیک بالا^[۴۴] است که در آن از مدل داده ها استفاده می شود. اما نقاط ضعف زیادی دارد از جمله این که این روش مستلزم داشتن اطلاعات کامل یا کالیبراسیون آرایه^[۴۵] است و جستجو برای یافتن جهت ها از حجم محاسباتی بالایی برخوردار خواهد بود. آرایه متشکل از زوج () سنسور است که به طور دلخواه در یک صفحه قرار گرفته اند. و بردار انتقال برای هر زوج سنسور، ثابت و برابر است (شکل ۲-۱). این آرایه تشکیل شده از زوج سنسورهایی که دارای الگوی پرتو یکسان هستند و هر سنسور می بایستی در تمامی جهات مورد نظر، توان مخالف صفر داشته باشد. توان، فاز و حساسیت پلاریزاسیون^[۴۶] سنسورها در هر زوج سنسور کاملاً اختیاری است و زوج های متفاوت می توانند حساسیت های متفاوت داشته باشند (شکل ۲-۲). مزیت این روش بر روش های دیگر این است که در این روش نیازی به دانستن مشخصه سنسورها نیست و بردار جابجایی بین دو دسته سنسورها مبنای اندازه گیری جهت ها می باشد و در نتیجه، دقیق بودن هندسه آرایه از اهمیت خاصی برخوردار نیست و فقط می بایستی، بردار جابجایی بین زوج سنسورها یعنی ، ثابت باشد. بنابراین مزایای این روش، به صورت زیر خلاصه می گردد:

1. عدم نیاز به کالیبراسیون آرایه
2. قابلیت تفکیک پذیری بالا

اما این روش دارای معایبی نیز می باشد. یکی از معایب این روش این است که در هندسه آرایه به دلیل
ثابت بودن بردار انتقال برای هر زوج سنسور محدودیت وجود دارد.

شکل ۲-۱- هندسه آرایه

دوم آن که برای جهت یابی منبع موج ارسالی، می بایست دو برابر دیگر روش ها سنسور در آرایه وجود داشته باشد. البته تعداد سنسورها را می توان با انتخاب آرایش هایی که بین دو دسته آن ها هم پوشانی^[۴۷] وجود دارد، همانند آرایش خطی یکنواخت کاهش داد (شکل ۲-۲). زیرا اولین قدم در الگوریتم ، انتخاب دو زیر آرایه مجزا می باشد. فرض کنید در محیط، سیگنال موجود باشد، بنابراین در هر زیر آرایه به سنسور نیاز است که در کل سنسور مورد نیاز می باشد. حال اگر از آرایه خطی استفاده نماییم، با انتخاب دو زیر آرایه به صورت زیر تنها به سنسور نیاز است.

شکل ۲-۲- نمایش آرایه ها برای الگوریتم

۲-۳-۷-مدل داده ها

فرض کنید که منبع باند باریک در فرکانس مرکزی و به حد کافی دور باشد، به طوری که در محیط همگن، جبهه موج هایی^[۴۸] که بر آرایه وارد می شوند، موج هایی تخت باشند. فرض می شود که منابع ارسال موج، فرآیندهای اتفاقی ایستان^[۴۹] با متوسط صفر یا سیگنال های معین^[۵۰] هستند. نویز جمع شونده در تمام سنسور، یک فرایند اتفاقی ایستان با متوسط صفر و ماتریس همبستگی فضایی خواهد بود.

برای توضیح روش فرض می شود که آرایه از دو زیر آرایه ، تشکیل شده باشد، این دو
زیر آرایه در تمام خصوصیات فیزیکی یکسان هستند و فقط با یک بردار انتقال از یکدیگر جدا شده اند. سیگنال های دریافت شده در خروجی زوج سنسور ام را به صورت زیر می توان نوشت:

(۲-۴۲)

(۲-۴۳)

که در اینجا پوش سیگنال باند پایه ام و و نویز سفید گوسی جمع شونده
می باشند. از آنجایی که توان و الگوی فاز سنسورها اختیاری هستند، احتیاجی به اطلاعات حساسیت سنسورها ندارد و بردار انتقال آرایه، به عنوان مرجع اندازه گیری در مسئله ظاهر می شود.

با ترکیب خروجی های دو زیر آرایه با یکدیگر، بردار اطلاعات مربوط به هر آرایه را به صورت زیر می توان نوشت:

(۲-۴۴)

(۲-۴۵)

(۲-۴۶)

که در اینجا و بردار سیگنال دریافتی آرایه و بوده و ماتریس جهت دهی
زیر آرایه های و می باشد. هم چنین بردار سیگنال موجود در محیط می باشد. سیگنال ها
می توانند به طور جزئی همبسته باشند. ماتریس یک ماتریس قطری است که اعضای قطر آن تاخیرهای فازی بین زوج سنسورها را نشان می دهد. ماتریس به صورت زیر است:

(۲-۴۷)

و بردار نویز جمع شونده به سیگنال بوده که یک فرایند تصادفی ایستان با متوسط صفر و واریانس می باشد. فرض می شود که نویز جمع شونده به سیگنال، مربوط به سنسورهای مختلف ناهمبسته باشند:

(۲-۴۸)

با توجه به روابط فوق نتیجه می شود که زیرفضای سیگنال برای بردار و یکسان است و هر دو به وسیله ایجاد می شوند.

(۲-۴۹)

با بهره گرفتن از خاصیت فوق بدون داشتن ، با محاسبه ، جهت های مجهول به دست می آیند. با فرض نویز سفید مستقل، می توان ماتریس خودهمبستگی داده آرایه را به صورت زیر نوشت:

(۲-۵۰)

به همین ترتیب با توجه به نا همبسته بودن نویز آرایه و ، می توان ماتریس همبستگی متقابل داده های آرایه های و را به صورت زیر محاسبه نمود:

(۲-۵۱)

در روش برای تخمین ، می بایست ماتریس را با استفاده از ماتریس همبستگی ، محاسبه نمود. می توان نشان داد که اگر غیر منفرد (معکوس پذیر)^[۵۱] باشد، مقدار ویژه تعمیم یافته غیر صفر مربوط به تابع برابر با هستند. ماتریس را به صورت زیر تعریف می نماییم.

با بهره گرفتن از مقادیر ویژه تعمیم یافته غیر صفر زوایای ورود محاسبه می شوند.

(۲-۵۲)

(۲-۵۳)

با توجه به رابطه (۲-۵۲) می بایست که مقادیر ویژه آن برابر مزدوج عناصر روی قطر گردد که همان اطلاعات زاویه ورود مورد نظر است.

(۲-۵۴)

اگر یک بردار ویژه تعمیم یافته باشد، نتیجه می شود:

(۲-۵۵)

ها با بهره گرفتن از رابطه زیر محاسبه می گردند:.

(۲-۵۶)

حداقل یکی از مقادیر ویژه تعمیم یافته است. زیرا ماتریس که مساوی
می باشد، از مرتبه کامل نیست، چرا که و نیز از مرتبه است. بنابراین است در نتیجه

(۲-۵۷)

بردارهای ویژه تعمیم یافته متناظر با در زیرفضای نویز قرار دارند یعنی:

(۲-۵۸)

مقادیر ویژه تعمیم یافته مخالف صفر از رابطه (۲-۵۵) به دست می آیند.

(۲-۵۹)

ماتریس مرتبه کامل است. زیرا ستون های مستقل خطی بوده و از مرتبه کامل است. با ضرب دو طرف تساوی در و حذف فاکتور مشترک در دو طرف نتیجه می شود:

(۲-۶۰)

با توجه به این که می توان نوشت:

(۲-۶۱)

بنابراین با محاسبه مقادیر ویژه () ماتریس قطری ، می توان جهت های ورود به منبع را از رابطه زیر به دست آورد:

(۲-۶۲)

در عمل از نمونه های سیگنال های و جهت تخمین زاویه ورود سیگنال استفاده می شود. اگر نمونه زمانی، به کار گرفته شود، ابتدا توابع همبستگی و محاسبه می شوند:

(۲-۶۳)

سپس مقادیر ویژه جهت تخمین و سرانجام با محاسبه مقادیر ویژه تعمیم یافته دو ماتریس و و محاسبه فاز مقدار ویژه که به دایره واحد نزدیک تر هستند جهت ورود سیگنال تخمین زده
می شود.

۲-۳-۸- الگوریتم ESPIRIT^[52]

همان طور که اشاره گردید، یکی دیگر از روش های معروف زیرفضایی،‌ روش نامیده می شود. این روش قابلیت بسیار بالایی در محاسبه دارد. این روش شامل دو زیر آرایه یکسان از آنتن ها با تعداد المان های یکسان است و هر زوج از المان های آن را تحت عنوان یک دابلت^[۵۳] با بردار مکان یکسان تعریف می نمایند. تعداد دابلت ها به میزان همپوشانی بین دو زیر آرایه آنتن بستگی دارد. اگر یک آرایه از سنسورهای خطی شامل سنسور را به گونه ای در نظر بگیریم که هیچ گونه هم پوشانی بین دو زیر آرایه وجود نداشته باشد، آن گاه تعداد دابلت ها برابر با نصف تعداد المان ها خواهد بود. در این حالت، مطابق شکل (۲-۳)، تعداد دابلت ها می باشد.

شکل ۲-۳- الگوریتم استاندارد با دو زیر آرایه غیر هم پوش و هرکدام شامل سنسور

اما در حالتی که ماکزیمم حالت هم پوشانی بین دو زیر آرایه از آن ها وجود داشته باشد، تعداد دابلت ها مطابق شکل (۲-۴)، برابر با خواهد گردید.

شکل ۲-۴- الگوریتم استاندارد با دو زیر آرایه با هم پوشانی حداکثر و هرکدام شامل سنسور

روش از پیچیدگی و میزان محاسبات کمتری در مقایسه با روش برخوردار بوده و عملیات هم زمان^[۵۴] را امکان پذیر می نماید.

در صورتی که یک آرایه شامل سنسور به دو زیر آرایه بدون هم پوشانی تقسیم بندی گردد، سیگنال دریافتی در امین گروه دابلت جمع آوری می گردد. بنابراین دابلت های زیر آرایه و به صورت زیر تعریف می گردد:

(۲-۶۴)

(۲-۶۵)

با بهره گرفتن از روابط ماتریسی خواهیم داشت:

(۲-۶۶)

(۲-۶۷)

که در آن و بردار نویز جمع شونده با میانگین صفر و واریانس و بردارهای نویز سفید
نا همبسته می باشند. هم چنین همانطور که قبلاً اشاره گردید، یک ماتریس است که به صورت زیر تعریف می گردد:

(۲-۶۸)

با محاسبه می توان را تخمین زد. در ادامه نحوه محاسبه نمایش داده خواهد شد.

همانطور که مشاهده می گردد، بردار خروجی شامل دو آرایه و به شرح ذیل تعریف شده است:

(۲-۶۹)

به این ترتیب ماتریس کوواریانس معادله بالا به شکل زیر تعریف می گردد:

(۲-۷۰)

تجزیه عبارت بالا به بردارهای ویژه به شرح ذیل صورت می پذیرد:

(۲-۷۱)

و مقادیر ویژه و بردارهای ویژه زیر فضای سیگنال و و مقادیر ویژه و بردارهای ویژه
زیر فضای نویز می باشد. مرتبه برابر با یعنی تعداد منابع ارسال سیگنال که ناهمبسته نیز
می باشند به شرح ذیل است:

(۲-۷۲

پس طبق رابطه بالا یک ماتریس غیر منفرد به گونه ای وجود دارد که

(۲-۷۳)

که و ماتریس های می باشند ()و.

هم چنین ماتریس به شکل زیر تعریف می گردد:

(۲-۷۴)

مرتبه ماتریس برابر است و بیان می کند که ماتریس یکتایی با رتبه به گونه ای وجود دارد که

(۲-۷۵)

در حقیقت ماتریس فضای صفر ماتریس را تشکیل می دهد. حال ماتریس با مرتبه را به شکل زیر فرض می نماییم:

(۲-۷۶)

بنابراین معادله (۲-۷۵) به شکل زیر قابل بیان است:

(۲-۷۷)

با توجه به اینکه ماتریسی از مرتبه کامل است، خواهیم داشت:

(۲-۷۸)

(۲-۷۹)

مطابق معادله بالا مقادیر ویژه ماتریس برابر با عناصر قطری ماتریس و بردارهای ویژه ماتریس برابر با ستون های ماتریس می باشد.

مطالب بیان شده در حقیقت، اصول مهم روش را مطرح کردند. روش های بسیار زیادی به منظور محاسبه از روی اطلاعات به دست آمده از آرایه وجود دارد که از مشهورترین آن ها می توان به
اشاره نمود.

۲-۴-آنتن های آرایه ای

با بهره گرفتن از آرایه ای از سنسورها می توان زاویه ورود سیگنال را تشخیص داد. ساده ترین مثال برای آنتن آرایه ای، آرایه خطی است. آرایه سنسورها معمولاً با دو پارامتر مشخص می گردد یکی محل قرارگیری سنسورها و دیگری پاسخ ضربه هر سنسور. شایان ذکر است که مشخصات پاسخ شبکه هر سنسور خود، پارامتر دامنه هر المان و شیفت فاز می باشد. برای سادگی، فرض بر این است، بدون قرارگیری دیگر سنسورها، هر سنسور دارای بهره ای^[۵۵] برابر یک و بدون شیفت فاز باشد. مطابق شکل (۲-۵) تعداد سنسور در فاصله از یکدیگر به صورت خطی توزیع شده و سیگنال دریافتی با زاویه وارد می گردد.

d

شکل ۲-۵- آرایه خطی

اگر سیگنال دریافتی با زاویه وارد گردد و فاصله سنسورها از هم باشد، فاصله مکانی بین سیگنال ارسالی تا دو سنسور مجاور به شکل زیر به دست می آید:

(۲-۸۰)

که در آن فاصله بین دو سنسور همسایه است. در این حالت سرعت انتشار سیگنال ارسالی معادل خواهد بود و، تاخیر زمانی دریافت سیگنال، توسط دو سنسور مجاور به صورت زیر محاسبه می گردد:

(۲-۸۱)

در رابطه مذکور، معادل طول موج سیگنال و فرکانس سیگنال حامل می باشد. در صورتی که فاصله سنسورها باشد، معادله به صورت زیر تعریف خواهد شد:

(۲-۸۲)

با توجه به فرمول بالا، میزان شیفت فاز سیگنال از رابطه زیر به دست می آید:

(۲-۸۳)

در صورتی که سیگنال ارسالی، سیگنال دریافتی، نویز جمع شونده، پاسخ آرایه، تعداد آرایه ها و تعداد سیگنال ارسالی باشد، خواهیم داشت:

(۲-۸۴)

(۲-۸۵)

در معادله (۲-۸۱)، اگر باشد، در این صورت به گونه ای که

(۲-۸۶)

که این حالت را بدنمایی فضایی^[۵۶] می نامند. در چنین شرایطی، منابع سیگنال ارسالی که در زاویه ورود و واقع شده باشند، توسط آرایه آنتن ها به صورت یک زاویه شناسایی می گردد. در واقع آرایه آنتن، قابلیت تفکیک زاویه ورود و از یکدیگر را نداشته و اصطلاحاً گفته می شود که این دو زاویه الیاس فضایی^[۵۷] یکدیگرند. به منظور توضیح این پدیده، آرایه خطی از سنسورها در راستای صفحه موج یک سیگنال باند باریک، که توسط منبع بسیار دوری تولید گردیده است را در نظر گرفته و زاویه ورود سیگنال را، فرض
می نماییم، در این صورت میدان موج^[۵۸] دریافتی در راستای آرایه، یک موج سینوسی جلورونده با طول موج ، خواهد بود.( مطابق شکل( ۲-۶)).

شکل ۲-۶- نمونه برداری فضایی از سیگنال ارسالی توسط آرایه خطی از آنتن ها

در حقیقت، یک آرایه خطی از آنتن ها، از میدان موج ارسالی به صورت فضایی، نمونه برداری می نماید. طبق قضیه نمونه برداری نایکوئیست، اگر فاصله زمانی (پریود) نمونه برداری، بزرگتر از نصف طول موج باشد، بدنمایی فضایی^[۵۹] رخ خواهد داد. با در نظر گرفتن ، به منظور جلوگیری از بدنمایی فضایی در آرایه ای از آنتن های خطی به ازای کلیه ها، فاصله بین دو سنسور مجاور می بایست کوچکتر یا مساوی باشد ().

اگر سیگنال مکان – زمان ارسالی، توسط یک آنتن روزنه ای^[۶۰] پیوسته (آنتن آرایه ای پیوسته) در راستای محور مشاهده گردد، خروجی آنتن را می توان به شکل زیر نمایش داد:

(۲-۸۷)

که در آن ، تابع وزن دهی آنتن روزنه ای می باشد. طیف سیگنال مشاهده شده، توسط رابطه زیر به دست می آید:

(۲-۸۸)

که در آن ، طیف تابع وزن دهی آنتن روزنه ای می باشد. برای یک آنتن روزنه ای خطی گسترده شده به طول ، تابع وزن دهی به شکل زیرتعریف می گردد:

(۲-۸۹)

و طیف تابع وزن دهی به صورت معادله زیر به دست می آید:

(۲-۹۰)

مطابق رابطه (۲-۹۰) اولین مقدار صفر تابع ، در

(۲-۹۱)

حاصل می گردد. دو منبع ارسال سیگنال کاملاً نزدیک به هم، در صورتی قابل شناسایی می باشند که عدد موج های آن ها حداقل، از یکدیگر، فاصله داشته باشد. که این رابطه را معیار ریلی^[۶۱] می نامند. معیار ریلی در حقیقت برای مقایسه میزان دقت تفکیک پذیری دو آرایه آنتن استفاده می گردد. برای موج
جلو رونده ای که با مشخصات ، توسط آنتن آرایه ای خطی با فاصله فضایی نصف طول موج بین سنسورها، دریافت می گردد، معیار ریلی به شکل زیر قابل تعریف خواهد بود:

(۲-۹۲)

و برای مقادیر بزرگ ، رابطه فوق را می توان به شکل زیر تقریب زد:

(۲-۹۳)

۲-۵- مدل سیگنال

مدل سیگنال ارائه شده بر اساس مفروضات زیر، بیان می گیرد:

1. منابع ارسال سیگنال، منابع باند باریکی هستند که در فاصله کاملاً دوری از آنتن آرایه ای، واقع
   شده اند.
2. منابع انتشار سیگنال به عنوان منابع نقطه ای تعریف می گردند.
3. محیط انتشار، از نوع همگن، و موج دریافتی به صورت صفحه ای فرض می گردد.

فرض می کنیم آرایه از سنسور، به صورت خطی (^[۶۲]) در فاصله از یکدیگر قرار دارند و سیگنال باند باریک با زاویه های ورود به آرایه وارد می شود. خروجی این آرایه در L لحظه نمونه برداری شده، که با نمایش داده می شود. بنابراین بردار مشاهده سنسور به صورت زیر مدلسازی می گردد:

(۲-۹۴)

(۲-۹۵)

که در آن ، یک ماتریس ، با بردارهای پاسخ آرایه ای به شکل زیر می باشد:

(۲-۹۶)

و یک بردار از سیگنال ارسالی و بردار نویز با ابعاد ، λ طول موج سیگنال،
فاصله بین سنسور ها و معرف ماتریس ترانهاده می باشد. هم چنین ماتریس کوواریانس آرایه (ماتریس خودهمبستگی)، یعنی را می توان به صورت زیر معرفی نمود:

(۲-۹۷)

که ماتریس ماتریس کوواریانس منابع با ابعاد، ماتریس کوواریانس نویز با ابعاد و ، معرف ماتریس هرمیتین^[۶۳] می باشد.

با توجه به این که ماتریس کوواریانس ، موجود نمی باشد، می توان آن را با بهره گرفتن از نمونه هایی از سیگنال دریافتی به صورت زیر تخمین زد:

(۲-۹۸)

۲-۶- ماتریس کوواریانس

با توجه به این که را به عنوان خروجی آرایه ها تعریف کرده ایم، در صورت بار نمونه برداری در لحظات ، در حقیقت بردار مشاهده خواهیم داشت که می توان آن را به صورت ماتریس مشاهده به شکل زیر تعریف نمود:

(۲-۹۹)

که ماتریس های و ، نیز مشابه ماتریس تعریف می گردند. برای محاسبه DOA سیگنال های ورودی، از گشتاور دوم خروجی آرایه استفاده می گردد. طبق فرض، سیگنال و دارای میانگین صفر و مستقل از هم می باشند. هم چنین هر دو فرایند گوسی مختلط بوده و گشتاور دوم آن به صورت زیر قابل تعریف خواهد بود:

(۲-۱۰۰)

(۲-۱۰۱)

(۲-۱۰۲)

(۲-۱۰۳)

که در آن ، یک ماتریس (ماتریس نامعلوم کوواریانس منابع)، ، ماتریس کوواریانس نویز و ، ماتریس واحد می باشد.

اگر ماتریس، قطری و غیر منفرد باشد، در این صورت، تمام منابع نا همبسته^[۶۴] خواهند بود. در صورتی که ، غیر قطری و منفرد باشد، در واقع زیر مجموعه ای از منابع وجود دارد که نسبت به یکدیگر همبسته
می باشند. به طور مشابه، اگر ماتریس ، غیر قطری اما غیر منفرد باشد،‌ منابع به صورت جزئی همبسته خواهند بود با توجه به رابطه(۲-۱۰۱)، یک فرایند از نظر زمانی سفید، و دارای مقدار ثابت در محدوده فرکانسی مورد نظر خواهد بود. هم چنین نویز پردازشی هر سنسور، مستقل از یکدیگر و طیف مکانی آن سفید می باشد(به صورت کلی برای نویز غیر سفید، می توان ابتدا عملیات سفیدسازی را اجرا نمود).

با توجه به فرضیات بالا، خروجی آرایه، یک ماتریس گوسی مختلط با میانگین صفر بوده و ماتریس کوواریانس آن به شکل زیر نمایش داده می شود:

(۲-۱۰۴)

با فرض مشخص بودن ماتریس ، که شامل بردار به ازای و با های متفاوت و مستقل از یکدیگر به ازای هر مجموعه از ، ماتریس ، یک ماتریس با مرتبه کامل می باشد.

فصل سوم

جهت یابی سیگنال های پهن باند

1.  

۳-۱- مقدمه

در این فصل، ابتدا به معرفی سیگنال های پهن باند پرداخته و سپس مدل آنتن های آرایه ای در دریافت سیگنال های پهن باند را معرفی می نماییم و پس از آن، در ادامه تکنیک های مختلف جهت یابی
سیگنال های باند پهن را مورد بررسی قرار خواهیم داد. در حقیقت، اساس تکنیک هایی که در این فصل مورد بررسی قرار می گیرند، استفاده از می باشد. همانطور که در ادامه فصل خواهیم دید، روش های جهت یابی پهن باند، خود به دو بخش کلی جهت یابی همبسته و جهت یابی ناهمبسته
تقسیم بندی می شوند. از روش های جهت یابی ناهمبسته می توان به روش های و و از روش های جهت یابی همبسته می توان به روش های ، ، و اشاره نمود که در طول این فصل، الگوریتم های آن به طور کامل مورد بررسی قرار خواهد گرفت.

۳-۲- معرفی سیگنال های باند پهن

سیگنال های پهن باند^[۶۵]، سیگنال هایی هستند که انرژی سیگنال در یک باند فرکانسی، گسترش یافته که این باند فرکانسی نسبت به فرکانس مرکزی سیگنال، بسیار بزرگتر است. در حالتی که سیگنال های محیط، پهن باند باشند، استفاده مستقیم از روش های جهت یابی باریک باند مقدور نخواهد بود. دلیل این ناتوانی این است که روش های جهت یابی باند باریک، تأخیر بین سنسورهای مختلف را به صورت مستقیم فقط به صورت شیفت فاز اعمال می کنند. هنگامی که پهنای باند سیگنال نسبت به فرکانس مرکزی آن کوچک باشد، این فرض صحیح است و می توان تأخیر بین سنسورها را به صورت مستقیم در اختلاف فاز جای داد. اما هنگامی که پهنای باند سیگنال بزرگ باشد، دیگر چنین فرضی برقرار نیست و نمی توان تأخیر بین سنسورها را در یک اختلاف فاز ساده جای داد[۱]. برای درک بهتر، سیگنال را در نظر بگیرید. ارتباط بین این سیگنال و تبدیل فوریه آن به صورت زیر است:

(۳-۱)

حال اگر سیگنال باریک باند و حول فرکانس مرکزی باشد، روابط زیر برقرار است:

(۳-۲)

همان گونه که از رابطه (۳-۲) پیداست، اختلاف فازی که در سیگنال به وجود آمده است، مستقل از زمان است. باید توجه داشته باشیم که تأخیر زمانی وابسته به مکان قرارگیری سنسورهای آرایه است.
به دلیل مزایایی که آرایه خطی یکنواخت نسبت به سایر آرایه ها دارد، در این پایان نامه بر روی این نوع از آرایه ها تمرکز می نماییم و روش های جهت یابی را روی آرایه خطی یکنواخت بررسی و شبیه سازی خواهیم نمود.

با توجه به توضیحات داده شده، در حالت باند باریک، سیگنال دریافتی توسط آرایه خطی یکنواخت، به صورت زیر مدل می شود:

(۳-۳)

که در این رابطه ، بردار جهت دهی آرایه مربوط به امین سیگنال است و چون آرایه را خطی یکنواخت فرض کرده بودیم، به صورت زیر خواهد بود:

(۳-۴)

باید توجه داشته باشیم که در رابطه (۳-۳)، ، بردار سیگنال خروجی آرایه است. همچنین ، بردار حاوی سیگنال منابع است. نیز بردار نویز محیطی است. شایان ذکر است که در بسیاری از روش های جهت یابی سیگنال های پهن باند، بایستی تعداد سنسورهای آرایه از تعداد منابع موجود در محیط بیشتر باشد .

حال اگر سیگنال های محیط، پهن باند باشند، بردار خروجی آرایه به صورت زیر مدل می شود:

(۳-۵)

(۳-۶)

که به صورت زیر است:

(۳-۷)

باید توجه نمود که در حالت باند باریک، تبدیل فوریه سیگنال ارسالی به شکل کلی
معرفی می گردد.

در حالت پهن باند، ماتریس همبستگی سیگنال خروجی آرایه در فرکانس f به صورت زیر مدل می شود:

(۳-۸)

،، ماتریس همبستگی
و توان نویز در فرکانس f است. ماتریس همبستگی کل برای سیگنال خروجی آرایه به صورت زیر
به دست می آید: [۶]

(۳-۹)

تا از مقادیر ویژه ماتریس نسبت به سایر مقادیر ویژه این ماتریس بزرگتر هستند. به عبارت دیگر در ماتریس، مقدار ویژه غالب داریم. بردارهای ویژه متناظر با این مقادیر ویژه، زیرفضای سیگنال را تشکیل می دهند. باید توجه داشته باشیم که در حالت باند باریک، ماتریس همبستگی سیگنال خروجی آرایه، تک فرکانس است و در این ماتریس مقدار ویژه غالب وجود دارد. پس از به دست آوردن بردارهای ویژه متناظر با مقادیر ویژه غالب، زیرفضای سیگنال و زیرفضای نویز قابل استخراج هستند. مابقی بردارهای ویژه که تعداد آنها است، تشکیل زیرفضای نویز را می دهند. اما در ماتریس به دلیل
انتگرال گیری که روی ماتریس همبستگی در فرکانس های مختلف انجام شده است، تعداد مقادیر ویژه غالب بزرگتر از خواهد بود[۶و۵]. به همین دلیل در حالت پهن باند، مشخص کردن زیرفضای سیگنال و نویز از روی ماتریس معنی دار نیست. به همین دلیل است که روش های جهت یابی باند باریک، مانند [۲] و [۳] قابل به کارگیری در جهت یابی باند پهن نیستند.

یکی از روش های متداول در جهت یابی سیگنال های پهن باند، این است که ابتدا سیگنال دریافتی توسط سنسورهای آرایه را، از یک فیلتر بانک عبور داده و سپس روش های جهت یابی باند باریک را در آن ها
به کار برد. معمولاً از به عنوان بانک فیلتر استفاده می نماییم. توجه داریم که در صورت انتخاب مناسب تعداد نقاط ، خروجی هر یک از بین های ، یک سیگنال باند باریک است و بنابراین به کارگیری روش های جهت یابی باند باریک امکان پذیر خواهد بود. در بخش های بعدی توضیحات بیشتری درباره مهم ترین دسته از این روش ها ارائه خواهیم کرد. هدف از این پایان نامه نیز بررسی و شبیه سازی روش های مختلف جهت یابی برای سیگنال های خروجی است به صورتی که در نهایت قادر باشیم به نحو مطلوب جهت منابع (که پهن باند هستند) را تخمین بزنیم.

۳-۳- معرفی تکنیک های مختلف جهت یابی سیگنال های باند پهن

۳-۳-۱- مدلسازی داده های باند پهن

یک آرایه خطی شامل سنسور به فاصله یکسان از یکدیگر و در فاصله بسیار زیاد از منبع باند پهن که امواج آن به صورت صفحه ای انتشار می یابد، مفروض است. تمامی منابع، دارای پهنای باند مشخص و فرکانس یکسان می باشد. هم چنین سیگنال های ارسالی توسط منابع می توانند به صورت نا همبسته، کاملاً همبسته و یا جزئی همبسته باشند.

سیگنال پهن باند دریافتی ، به ازای آرایه و سیگنال ارسالی به صورت زیر مفروض است:

(۳-۱۰)

که درآن ، سیگنال باند پایه ارسالی، فرکانس مرکزی، زاویه ورود سیگنال ام و ، معادل تاخیر سنسور ام می باشد.

سیگنال مذکور را می توان به شکل مختلط زیر نمایش داد:

(۳-۱۱)

که تبدیل فوریه آن به شکل زیر حاصل می گردد:

(۳-۱۲)

که ، تبدیل فوریه تابع می باشد. بنابراین سیگنال دریافتی توسط هر سنسور را به ازای می توان به شکل زیر نمایش داد:

(۳-۱۳)

و نمایش ماتریسی آن به شکل زیر می باشد:

(۳-۱۴)

که در آن ، بردار طیف خروجی آنتن با ابعاد ، ، ماتریس هدایت آرایه با ابعاد ، ، بردار طیف منابع با ابعاد و ، بردار نویز می باشد. بنابراین

(۳-۱۵)

(۳-۱۶)

(۳-۱۷)

(۳-۱۸)

(۳-۱۹)

۳-۳-۲- معرفی اجمالی روش های جهت یابی سیگنال های باند پهن با بهره گرفتن از بانک فیلتر

همانگونه که پیشتر بیان کردیم، ابتدا سیگنال خروجی آرایه را از یک فیلتر بانک عبور می دهیم. فرض می کنیم تبدیل فوریه ای که انجام می دهیم، نقطه ای باشد. به عبارت دیگر، خروجی آرایه اکنون به بین فرکانسی تقسیم شده است. ماتریس کوواریانس بین ام را می توان به صورت زیر تخمین زد: [۲]

(۳-۲۰)

که ، نمونه ام از سیگنال خروجی آرایه در بین فرکانسی ام (به ازای ) است. توجه داریم که در رابطه (۳-۲۰)، از تعداد نمونه، برای تخمین ماتریس همبستگی در بین ام، استفاده
شده است.

روش های مختلف جهت یابی باند پهن با توجه به اینکه چگونه از اطلاعات ماتریس همبستگی بین های مختلف استفاده کنند، به دو بخش کلی تقسیم می شوند:

1. روش های همبسته^[۶۶]
2. روش های ناهمبسته^[۶۷].

در روش ناهمبسته با بهره گرفتن از روش های جهت یابی باند باریک، در هر بین فرکانسی، جهت یابی به صورت مجزا از سایر بین ها انجام می پذیرد و سپس نتایج بین های مختلف متوسط گیری می شوند. از این شاخه از الگوریتم ها می توان به روش های مراجع [۵] و [۶] اشاره کرد. قابل ذکر است که این الگوریتم ها تنها هنگام بالا بودن و وجود فاصله زاویه ای زیاد منابع از یکدیگر، قادر هستند عملکرد خوبی
داشته باشند. در [۷] گفته شده که در شرایطی که ، پائین باشد، این الگوریتم ها حتی از حالتی که تنها یک بین پردازش می شود، جواب نامناسب تری ارائه می دهند.

اصول کار روش های همبسته در جهت یابی، شبیه به روش های ناهمبسته است. ابتدا سیگنال دریافتی توسط هریک از سنسورها از یک بانک فیلتر FFT عبور داده می شود تا به بین های فرکانسی مختلف تجزیه شود و در هر بین، یک سیگنال باریک باند داشته باشیم. همانند حالت ناهمبسته ماتریس همبستگی در هر بین فرکانسی را محاسبه می نماییم. کلیات این روش ها این است که با اعمال یک تبدیل مناسب، ماتریس همبستگی کلیه بین های فرکانسی به ماتریس همبستگی در یک فرکانس مرجع^[۶۸] برده شود و در نهایت با متوسط گیری روی کلیه ماتریس های تبدیل یافته، به یک ماتریس همبستگی، دست یابیم (توجه داریم که متوسط گیری در حالت کلی به صورت وزن دار است). حال قادر خواهیم بود از روش های جهت یابی باریک باند استفاده نمائیم. باید توجه داشته باشیم که در این روش، از اطلاعات سیگنال در فرکانس های مختلف و ارتباط آن ها با سایر بین های فرکانسی بهره می گیریم و این گونه نیست که در هر بین فرکانسی به صورت مستقل زاویه ورود منابع را تخمین بزنیم. با اعمال تبدیل مناسب به ماتریس همبستگی سیگنال مربوط به هر بین فرکانسی، در بینهای مختلف، می توان، بردار جهت دهی یک منبع در تمامی بین ها را یکسان نموده و به یک شکل واحد در آورد. ماتریس تبدیلی که ماتریس همبستگی بین های مختلف فرکانسی را به ماتریس تبدیل فرکانس مرجع، انتقال می دهد، ماتریس متمرکزکننده^[۶۹] یا ماتریس کانونی نامیده می شود. شایان ذکر است که این ماتریس، برای هر بین فرکانسی، متفاوت از ماتریس متمرکز کننده سایر بین های فرکانسی است.

بردار جهت دهی هر منبع وابسته به زاویه ورود آن است؛ لذا برای داشتن تبدیل متمرکزکننده ایده آل بایستی از جهت ورود منابع، اطلاع داشته باشیم. هدف نهائی از مسئله ما، نیز تخمین جهت ورود منابع است و مطمئناً ما این زوایا را در اختیار نداریم. با توجه به توضیحات داده شده، در عمل هیچ گاه ماتریس
متمرکز کننده ایده آل قابل حصول نیست. به منظور داشتن ماتریس متمرکز کننده، ابتدا تخمین اولیه ای از زاویه ورود منابع صورت می پذیرد. این تخمین اولیه می تواند دقیق نباشد. در این حالت هدف ما این است که با بهره گرفتن از روش های جهت یابی ناهمبسته، تخمین اولیه را بهبود دهیم و در نهایت تخمین خوبی از زاویه ورود منابع داشته باشیم.

با توجه به توضیحاتی که در بالا ارائه شد، تفاوت اصلی در روش های مختلف جهت یابی همبسته، در ماتریس تبدیلی است که یک روش استفاده می نماید و بر این اساس روش های مختلفی برای جهت یابی همبسته ارائه شده است. در ادامه به معرفی مدل فرکانسی سیگنال پهن باند می پردازیم.

۳-۳-۳- مدل فرکانسی سیگنال باند پهن

همانند آنچه قبلاً بیان گردید، حالتی را در نظر می گیریم که منبع نقطه ای در فاصله دور از سنسور، قرار گرفته و مختصات فضایی سنسورها از یکدیگر، مشخص می باشد. طیف آرایه خروجی منبع پهن باند برای فرکانس (باند باریک) و نمونه ام (به ازای ) برابر است با:

(۳-۲۱)

که در آن بردار منابع، بردار زاویه حامل منابع به صورت
و ماتریس مانیفولد^[۷۰] به شکل زیر نمایش داده می شود:

(۳-۲۲)

در رابطه مذکور، ، بردار هدایت آرایه، مربوط به منبع ام در فرکانس و بردار نویز است که به صورت زمانی و مکانی و نسبت به منابع ارسال سیگنال ناهمبسته می باشد.

ساختار بردار هدایت با توجه به موقعیت فضایی سنسورها تغییر می یابد. علت نامگذاری این بردار به عنوان بردار هدایت، این است که با بهره گرفتن از مجموعه ای از ضرایب، زاویه خاصی از منابع را به خروجی آرایه انتقال می دهد. در حقیقت بردار هدایت برای آرایه خطی به شکل کلی زیر تعریف می گردد:

(۳-۲۳)

باید توجه نمود که اولین المان آرایه خطی، به عنوان نقطه مرجع با فاز صفر در نظر گرفته می شود. در حالتی که سنسور آرایه ای به صورت دایره ای قرار گیرد، بردار آن به شکل زیر قابل تعریف خواهد بود:

و در حالت کلی، آرایه ای با مختصات فضایی به ازای ، دارای بردار هدایتی به شکل زیر خواهد بود:

(۳-۲۵)

در عبارات فوق به عنوان زاویه الکتریکال با زاویه مشاهده آرایه ای تعریف
می گردد. در شکل ۱-۳ دو چیدمان مهم آرایه ای نمایش داده شده است.

شکل ۳-۱- الف - آرایه خطی

شکل ۳-۱- ب آرایه دایره ای

برد تابع زاویه الکتریکال، تابعی از فرکانس کاری، فاصله المان ها، و زاویه مشاهده می باشد. مقدار واقعی زاویه مشاهده ای بین است. اگر فاصله المان های آرایه خطی برابر با باشد، زاویه الکتریکال برابر با ، خواهد شد که خروجی رابطه مذکور، به ازای بین ، برابر با ، خواهد بود. در حقیقت به ازای دامنه ، زاویه تشخیص داده شده، توسط آرایه، بدون ابهام می باشد. ماتریس چگالی طیف فضایی خروجی آرایه به ازای فرکانس به صورت زیر تعریف می گردد.

(۳-۲۶)

که درآن رابطه ، ماتریس چگالی طیف توان بردار منابع بوده که ماتریسی غیرمنفی - هرمیتین با ابعاد است و ،
ماتریس چگالی طیف توان نویز در فرکانس می باشد (ماتریس نویز یک ماتریس با ابعاد است). با فرض ناهمبسته بودن منابع و هم چنین رتبه ماتریس به ازای تمامی فرکانس ها و زوایا برابر با می باشد. بنابراین ماتریس کوواریانس خروجی آرایه به ازای هر بین و نمونه برابر با رابطه زیر خواهد بود:

(۳-۲۷)

در رابطه مذکور ، ماتریس کوواریانس سیگنال و ، ماتریس کوواریانس طیف نویز در فرکانس بین م می باشد. با توجه به این که تعداد محدود نمونه در دسترس است، ماتریس کوواریانس طیف فضایی به ازای نمونه های ، تقریباً برابر است با:

(۳-۲۸)

که در آن ، ماتریس داده ها در فرکانس
می باشد.

۳-۳-۴- الگوریتم های مختلف جهت یابی سیگنال های پهن باند

همان گونه که قبلاً توضیح داده شد، الگوریتم های جهت یابی سیگنال های پهن باند به دو دسته کلی
روش های ناهمبسته و روش های همبسته طبقه بندی می شوند. در ادامه به توضیح هر یک از روش های مذکور پرداخته خواهد شد.

۳-۳-۵- روش های جهت یابی ناهمبسته

در روش های جهت یابی ناهمبسته هر بین فرکانسی به صورت مستقل از سایر بین ها پردازش می شود و در نهایت از زوایای تخمین زده شده در تمامی بین های فرکانسی متوسط گیری می شود [۵] و [۶]. با توجه به اینکه سیگنال خروجی آرایه در هر بین فرکانسی تقریباً باند باریک است، در این مرحله می توان از تمامی روش های جهت یابی باند باریک استفاده نمود. به عنوان مثال، هنگامی که بخواهیم از الگوریتم معمولی به عنوان جهت یاب باند باریک استفاده کنیم، زاویه ورود به صورت زیر تخمین زده می شود [۳]:

(۳-۲۹)

که در این رابطه زیر فضای نویز در بین فرکانسی ام است و تعداد بین های فرکانسی است. از رابطه (۳-۲۹)، مشاهده می شود که ابتدا طیف را در هر بین فرکانسی به صورت مستقل از سایر بین ها محاسبه می کنیم. سپس از طیف های به دست آمده در بین های مختلف فرکانسی، میانگین گیری
می نماییم. توجه داریم که در حالت کلی این میانگین گیری می تواند وزن دار نیز باشد. برای تخمین زاویه ورود منابع معمولاً معکوس رابطه (۳-۲۹) را به ازای زوایای مختلف محاسبه می کنند (رابطه (۳-۳۰)).

(۳-۳۰)

عبارت بالا، در زوایای ورود منابع ماکزیمم می گردد. از روی قله هایی که در رسم این طیف مشاهده
می شود، می توان به زوایای ورود منابع پی برد. همان گونه که در ابتدای این بخش نیز بیان کردیم،
روش های ناهمبسته در شرایط خاصی که بالا بوده و فاصله فضائی منابع از هم زیاد است، خوب عمل می کند. در شرایطی که پائین باشد، و یا طیف نویز در حوزه فرکانس یکنواخت نباشد و یا اینکه فاصله زاویه ای سیگنال ها از هم کم باشد، این الگوریتم ها حتی از حالتی که تنها یک بین پردازش می شود، بدتر جواب می دهند [۷].

۳-۳-۶- روش های ناهمبسته فرکانسی

در میان تمام روش های ناهمبسته برای سیگنال های پهن باند،‌ روش کاپون و روش های زیرفضایی (روش و )، نسبت به بقیه مناسب تر هستند.

۳-۳-۷- فرم دهنده بیم به روش کاپون^[۷۱]

در روش کاپون، همان طور که قبلاً اشاره گردید، هدف، انتقال سیگنال های مورد نظر و تضعیف توان سیگنال های دریافتی در دیگر جهت ها می باشد. در واقع در جهت دهی کاپون با شرط این که توان دریافتی در جهت سیگنال مورد نظر برابر با مقدار واحد باشد، توان ارسالی در تمامی جهات مینیمم
می گردد. این مسئله را می توان در حوزه بین فرکانسی ، به صورت زیر فرمول بندی نمود:[]

(۳-۳۱)

(۳-۳۲)

مطابق شکل کاپون، سیگنال های دریافتی توسط سنسورهای ، با نمایش
داده شده و توسط با فاصله زمانی ، از سیگنال دریافتی نمونه برداری می گردد. نمونه ها به
زیر مجموعه که هرکدام شامل نمونه می باشند، ‌تبدیل گردیده و از آن ، نقطه ای
گرفته می شود. نمونه های به دست آمده به بلوک به ازای ،
و، وارد گردیده و خروجی آن با تابع ، نمایش داده می شود و پس از آن تبدیل معکوس گرفته می شود. با بهره گرفتن از روش کاپون،‌ ضرایب بهینه معادله (۳-۳۲) به شکل زیر قابل نمایش خواهد بود[]:

(۳-۳۳)

هم چنین توان خروجی به دست آمده از روش کاپون برابر است با:[]

(۳-۳۴)

با جایگذاری معادله (۳-۳۳) در (۳-۳۴) تساوی زیر حاصل می گردد:

(۳-۳۵)

در این مرحله می بایست، ‌ به گونه ای انتخاب گردد که توان دریافتی به وسیله روش کاپون، ماکزیمم شود. هایی که معادله (۳-۳۵) را ماکزیمم می کند، در حقیقت همان جهت سیگنال های مطلوب می باشد. در این روش فرض بر این است که با بهره گرفتن از تضعیف کننده های وفقی (فیلترهای وفقی)،‌ سیگنال های غیرمطلوب نزدیک به سیگنال مورد نظر را به شدت کاهش داده، به گونه ای که سیگنال اصلی بدون اعوجاج باقی بماند. به عنوان مثال الگوی پرتوی که توسط روش کاپون تحلیل گردیده است، در شکل (۳-۲) نمایش داده شده است. در این مثال آرایه خطی با ۲۰ المان با در فرکانس ۱۵۰با نرخ نایکویست فضایی () استفاده شده است. با توجه به شکل، می توان ملاحظه نمود که زوایای قرارگیری
سیگنال های تداخلی به شدت تضعیف شده و تابع در آن نقاط، مینیمم می گردد، که نکات آن در ادامه توضیح داده خواهد شد.

شکل ۳-۲- الگوی پرتودهی در روش کاپون به ازای منبع ارسالی ۰db در بین فرکانسی ۱۵۰ هرتز و دریافتی توسط آرایه ای از ۲۰ سنسور

با توجه به تجزیه مقدار ویژه (^[۷۲])، ماتریس، که در آن ، یک ماتریس قطری است و ، هم چنین مقادیر ویژه و ،‌ ماتریس واحد انتقال است که شامل بردارهای ویژه ماتریس می باشد. خروجی تابع
وزن دهی به ازای یک زاویه دلخواه با معادله زیر برابر خواهد شد:

(۳-۳۶)

در تساوی بالا،‌ صورت کسر با توجه به معادله (۳-۳۵)، به صورت زیر، تجزیه می گردد:

(۳-۳۷)

که در آن و ،‌ مقدار ویژه، و بردار ویژه ام ماتریس می باشد. هم چنین ، پاسخ آرایه ام به ازای سیگنال تست با زاویه ورود در شرایطی است که بردار هدایت در جهت باشد. در حالت ایده آل به ازای پاسخ آرایه به زاویه ورود ، می بایست صفر باشد.

اما در عمل به علت حلقه های جانبی^[۷۳] مطابق شکل ۳-۳، خروجی معادله صفر نمی گردد. بزرگترین مقدار ضرب داخلی ، به ازای بردار ویژه که نزدیک ترین مقدار را با دارد، حاصل می گردد. هم چنین بزرگترین مقدار ضرب داخلی پارامتر دوم ، به ازای بردار ویژه ای که نزدیک ترین مقدار را نسبت به دارد، حاصل می گردد. در حالتی که بردارهای ویژه و بردارهای هدایت مقدار نزدیکی نسبت به هم ندارند ( در یک جهت نمی باشند)، مقدار ضرب داخلی آن ها نزدیک به صفر می گردد.

زاویه ψ

شکل ۳-۳- ضرب اسکالر بردار هدایت در بردار ویژه

هرچه زاویه بین دو بردار، به صفر درجه نزدیک تر باشد، مقدار ضرب داخلی بردار، بزرگتر و هرچه به ۹۰ درجه نزدیک تر گردد، مقدار ضرب داخلی به صفر نزدیک تر خواهد شد. در عوض هرچه مقدار بزرگتر باشد، ‌سهم آن عبارت، در نتیجه نهایی کمتر شده و کاهش می یابد. در حقیقت زمانی که نزدیک به یکی از بردارهای ویژه باشد، ضریب باعث ایجاد مانع بزرگ و صفر در پاسخ خروجی، مطابق شکل (۳-۳)، می گردد. پس در حقیقت، عبارت بالا همواره باعث می گردد، در صورتی که باشد، پاسخ آرایه (حتی در صورتی که سیگنال دریافتی دارای توان بالا باشد) در جهت بسیار کوچک گردد و زمانی که سیگنال منبع با زاویه ای برابر با زاویه مشاهده آرایه، ارسال گردد ()، بردار ویژه ای مثل وجود دارد ()، که تقریباً در جهت بوده و ضرب داخلی آن می گردد.

(۳-۳۸)

در حالی که مقدار بقیه ضرب های داخلی بسیار کوچک می باشد. در نهایت ضرب داخلی که بیشینه
می باشد، توسط عبارت مخرج معادله (۳-۳۶)، نرمالیزه می گردد.

بسط سیگنال باند پهن به سیگنال باند باریک، و اعمال روش کاپون به هر باند فرکانسی باریک
() ، مجموعه ای از تولید می نماید که باعث ماکزیمم شدن خروجی سیگنال به نویز نسبت به تداخل، در هر باند فرکانسی می گردد. و در حقیقت را به ازای هر ، ماکزیمم
می نماید.

(۳-۳۹)

در انتها می بایست، تمامی توان های به دست آمده در هر باند فرکانسی را میانگین گیری نماییم. بسته به این که از چه روش میانگین گیری برای محاسبه توان خروجی کل استفاده نماییم، چندین الگوریتم مختلف برای محاسبه خروجی الگوریتم کاپون حاصل می گردد.

۳-۳-۸- میانگین گیری حسابی^[۷۴]

در این روش، توان خروجی کل از میانگین گیری حسابی بر روی توان خروجی الگوریتم کاپون هر باند باریک فرکانسی حاصل می گردد. بنابراین سیگنال پهن باند، به روش میانگین حسابی کاپون به شکل زیر مطرح می گردد:

(۳-۴۰)

به ازای داریم:

(۳-۴۱)

در حقیقت عبارت بالا، معرف میانگین گیری حسابی توان، به روش ناهمبسته با اعمال قید حداقل تداخل سیگنال های نامطلوب بوده، که به منظور مینیمم نمودن توان، مورد استفاده قرار می گیرد. در عبارت بالا، فرض بر این است که ، نسبت به نمونه که در فاصله زمانی ، نمونه برداری شده اند، مستقل است. از حل معادله بالا به وسیله روش لاگرانژ، عبارات زیر حاصل می گردد:

(۳-۴۲)

که در آن، ، ضریب وابستگی لاگرانژ می باشد. مشابه معادله (۳-۳۳) برای حل معادله
(۳-۴۲)، خروجی زیر حاصل می گردد:

(۳-۴۳)

و تابع طیف توان کاپون، با جایگذاری معادله (۳-۴۳)، در معادله (۳-۴۰)، مطابق زیر حاصل می گردد:

(۳-۴۴)

که در حقیقت، میانگین حسابی طیف باند باریک الگوریتم کاپون می باشد.

۳-۳-۹- روش میانگین گیری هندسی^[۷۵]

به منظور ترکیب بیم های باند باریک، می توان، از میانگین هندسی استفاده نمود. بدین ترتیب،
میانگین هندسی توان باند باریک را به شکل زیر محاسبه می نماییم:

(۳-۴۵)

عبارت بالا می بایست، تحت قید (۳-۴۱)، مینیمم گردد. حل معادله بالا همانند آن چه پیشتر به آن اشاره گردید،‌ همان پاسخ های به دست آمده در تساوی (۳-۴۳)، را شامل می گردد. با جایگذاری عبارت مذکور در معادله (۳-۴۵)، تساوی زیر حاصل می گردد:

(۳-۴۶)

۳-۳-۱۰- روش میانگین گیری هارمونیک^[۷۶]

توان خروجی نهایی، به صورت ترکیب هارمونیک الگوریتم باند باریک کاپون قابل محاسبه است، که به شکل زیر نمایش داده می شود:

(۳-۴۷)

عبارت بالا، می بایست تحت شرایط معادله (۳-۴۱)، مینیمم گردد، به سادگی می توان نشان داد که:

(۳-۴۸)

همانند حالت باند باریک که زوایای ورود سیگنال، معادل مقادیری از می باشد که تابع طیف کاپون را ماکزیمم می نماید، در حالت باند پهن نیز، زوایای ورود سیگنال باند پهن برابر با ماکزیمم توابع ، ، می باشد.

۳-۳-۱۱- الگوریتم موزیک پهن باند^[۷۷]

همان طور که قبلاً توضیح داده شده بود، الگوریتم یکی از روش های زیرفضایی می باشد که در آن، ماتریس به زیرفضای سیگنال و نویز تجزیه می گردد و از اطلاعات موجود، برای تشخیص زاویه ورود سیگنال استفاده می گردد. باید خاطر نشان نمود که از این الگوریتم علاوه بر تشخیص زاویه ورود سیگنال، می توان، جهت تشخیص تعداد منابع ارسال سیگنال، تعیین تابع همبستگی سیگنال در جهات مختلف، پلاریزاسیون سیگنال دریافتی و نیز استفاده نمود. همان طور که در فصل ۲ اشاره گردید، مدل سیگنال به شکل زیر تعریف میگردد:

(۳-۴۹)

عبارت فوق را می توان به شکل زیر تجزیه نمود:

(۳-۵۰)

که در آن

(۳-۵۱)

(۳-۵۲)

با فرض و ، و ، به ترتیب زیرفضای باند باریک و زیر فضای نویز باند باریک می باشد. باید توجه نمود که عبارات بالا، با فرض ناهمبستگی فضایی، توزیع یکنواخت نویز بوده که در نتیجه قابل تجزیه به بردارهای ویژه با توان یکسان به شکل می باشد.در رابطه مذکور، ، توان نویز بوده و بدین ترتیب ماتریس همبستگی نویز به شکل زیر قابل تعریف می باشد:

(۳-۵۳)

مقدار ویژه متناظر با بردارهای ویژه نویز، دارای مقدار یکسان می باشد که زیرفضای نویز را تولید می نماید. در حقیقت، پایه های زیر فضای نویز بوده و
بر بردارهای پایه زیر فضای سیگنال و عمود می باشد. ماتریس دارای ابعاد است و ستون آن، بردارهای ویژه نویز می باشند که باید مربع فاصله اقلیدسی آن، از ، حداقل گردد که این موضوع در حقیقت نشان دهنده خطا خواهد بود.

(۳-۵۴)

به منظور مینیمم شدن عبارت بالا، می بایست تا حد امکان ، در جهت بردارهای زیرفضای سیگنال باشد. در حالتی که ، معادل زیرفضای سیگنال باشد، با توجه به اینکه زیرفضای سیگنال بر زیرفضای نویز عمود است، می گردد. با معکوس نمودن تابع بالا توان الگوریتم به شکل زیر قابل تعریف می باشد:

(۳-۵۵)

مقدار ، که تابع فوق در آن ماکزیمم گردد، در حقیقت، همان زوایای ورود سیگنال می باشد. پس از به دست آمدن ها، می توان ، را تخمین زده و ماتریس را از روی
و ، به شکل زیر محاسبه نمود:

(۳-۵۶)

(۳-۵۷)

که ماتریس کوواریانس نویز از رابطه زیر تخمین زده می شود:

(۳-۵۸)

و ماتریس برابر با ماتریس معکوس شبه مور - پنروس^[۷۸] می باشد.

حل مسئله زوایای ورود از طریق الگوریتم ، خود شامل چندین روش متفاوت برای محاسبه هر سیگنال باند باریک بوده و در انتها از خروجی های باند باریک میانگین گیری صورت می پذیرد. بر طبق مرجع (۷)، بهترین روش جهت ترکیب باندهای باریک، میانگین گیری ناهمبسته هندسی است. علت این است که، خروجی اجرای به روش ناهمبسته، بهتر از حالت همبسته ، جواب می دهد.
در حقیقت، در میانگین گیری هندسی، تمرکز خروجی، بر روی باریک ترین بین اصلی موجود خواهد بود. خروجی توان با میانگین گیری هندسی همانند حالت کاپون به شکل زیر تعریف می گردد:

(۳-۵۹)

۳-۳-۱۲- الگوریتم وزن دهی مناسب زیرفضاها^[۷۹]

همان گونه که در بخش ۳-۳-۲، مطرح گردید، یکی دیگر از روش های ناهمبسته، استفاده از روش وزن دهی مناسب زیرفضاها می باشد، که با حروف اختصاری ، نمایش داده می شود. در صورتی که مدل سیگنال همانند گذشته به صورت زیر باشد:

(۳-۶۰)

هدف، تولید مناسب ترین زیر فضا است، به گونه ای که معادله زیر مینیمم گردد:

(۳-۶۱)

که نرم فربینوس^[۸۰] می باشد. با بهره گرفتن از معادله بالا، تخمین سیگنال به شکل زیر صورت خواهد پذیرفت:

(۳-۶۲)

که معادله فوق، حداقل مربع^[۸۱] () تخمین سیگنال ارسالی ، بر اساس خروجی ، برای j امین بین باند باریک می باشد. میزان خطا در تخمین برابر است با:

(۳-۶۳)

که در عبارت فوق:

(۳-۶۴)

در حقیقت ، عملگر متعامد مربوط به زیرفضای ماتریس ، می باشد. مربع خطای مربوط به زیرفضای مناسب^[۸۲] برابر است با:

(۳-۶۵)

به منظور تخمین ، می بایست، مجموع خطای مربع مربوط به تمام باندهای فرکانسی را محاسبه نموده و تابع به دست آمده را به ازای مینیمم نماییم. بر خلاف تخمین کاپون، در این روش، ، برداری از زاویه ورود به شکل زیر می باشد:

(۳-۶۶)

در حقیقت به منظور محاسبه ، به یک جستجوی چند بعدی نیاز خواهد بود. بنابراین تخمین ، به شکل زیر فرمول بندی می گردد:

(۳-۶۷)

حال با بهره گرفتن از نتیجه ، می توان الگوریتم را فرمول بندی نمود. روش ، سعی می نماید تا با بهره گرفتن از ترکیب اطلاعات موجود از زیرفضای نویز و سیگنال، تقریبی از ماتریس کوواریانس سیگنال را به صورت مجزا از، محاسبه نماید. این موضوع سبب می گردد که بتوان با بهره گرفتن از تصویر ماتریس هدایت، تخمین بهتر و مناسب تری از بردار جهت (زاویه ورود) و میزان همبستگی بین سیگنال های مورد نظر به دست آورد. با توجه به تجزیه ، به بردار ویژه و مقادیر ویژه، معادله زیر حاصل می گردد:

(۳-۶۸)

که ماتریس ، یک ماتریس و ماتریس ، یک ماتریس خواهد بود. در حالتی که، تعداد منابع برابر با و معلوم باشد، ماتریس کوواریانس نمونه را می توان به شکل زیر تقریب زد:

(۳-۶۹)

که ، ماتریس داده های دریافتی بوده و طبق عبارت فوق می توان، آن را به شکل زیر بیان نمود:

(۳-۷۰)

در حالت کلی، می توان ماتریس وزن دهی را به گونه ای انتخاب نمود که
. معمولاً از روش ورژن یک، برای محاسبه ماتریس وزن دهی استفاده می شود که به شکل زیر قابل نمایش می باشد:

(۳-۷۱)

در وزن دهی به روش فوق، عدم همبستگی نویز، از اهمیت بسیار بالایی برخوردار است. در حقیقت، در این روش وزن دهی، اثر نویز بر روی ماتریس کوواریانس داده ها، حذف گردیده و سعی می شود ماتریس کوواریانس، بدون نویز محاسبه گردد. با بهره گرفتن از معادله (۳-۶۵) و محاسبه برای ، در بین ام با توجه به نمونه برداشته شده، مقدار ، از روش زیر محاسبه می گردد:

(۳-۷۲)

باید توجه نمود، در حالتی که نویز وجود نداشته باشد، تساوی برقرار بوده و عبارت را می توان با جایگزین نمود. در این حالت، معادله
(۳-۷۰) به روش تبدیل خواهد شد. در روش ، هدف، مینیمم نمودن عبارت فوق، به ازای های مختلف بر روی مجموع تمام بین های فرکانسی می باشد.

(۳-۷۳)

به منظور محاسبه ، توسط فرمول فوق، نیاز به جستجوی بعدی می باشد که حجم محاسبات را بسیار سنگین نموده و در عمل امکان تشخیص سریع و هم زمان ^[۸۳] را از بین می برد. به عنوان مثال، در حالتی که، ماتریس جهت دهی، یک ماتریس باشد، آنگاه،

.

در این صورت می بایست فرمول فوق به ازای کلیه ترکیب های محاسبه و مینیمم گردد که حجم بسیار بالایی از محاسبات را شامل خواهد شد. در عمل، به منظور کاهش حجم محاسبات، سعی بر این است که ابتدا مسئله را با بهره گرفتن از ماتریس تصویر با بعد یک، یعنی ماتریس ، به صورت یک بعدی تعریف و در مرحله بعد، نسبت به بهینه کردن آن اقدام نمود. در این صورت ماتریس دارای رتبه ۳ خواهد بود، که می بایست، ماتریس کوواریانس، با را در معادلات لحاظ نماییم. با توجه به این که در تمامی الگوریتم ها، سعی بر محاسبه مقدار ماکزیمم است، عبارت فوق به شکل زیر قابل محاسبه خواهد بود:

(۳-۷۴)

که در آن ، ماتریس تصویر با رتبه یک می باشد. باید توجه نمود که عبارت فوق با شرط ، برقرار خواهد بود.

در صورتی که، ، را تعریف نماییم، طبق روابط فوق در روش ، هدف، مینیمم کردن ، به ازای های متفاوت خواهد بود. بنابراین معادلات زیر برقرار می گردد:

(۳-۷۵)

(۳-۷۶) (۳-۷۷)

در روابط فوق، ، معادل واریانس نویز بوده که از میانگین گیری بر روی مقدار ویژه ماتریس کوواریانس محاسبه می گردد.

۳-۳-۱۳- محاسبه تخمین به روش

برای مینیمم نمودن ، روش های متعددی وجود دارد. یکی از این روش ها، روش اصلاح شده نیوتن^[۸۴] می باشد. در این روش، ابتدا یک اولیه انتخاب نموده و با بهره گرفتن از فرمول زیر، مقدار را بهینه
می نماییم. پس از بار تکرار معادله زیر، می توان به نتیجه دلخواه دست یافت:

(۳-۷۸)

در معادله فوق،، مقدار محاسبه شده در مرحله تکرار ام، و ، ماتریس هسین^[۸۵] می باشد
(در ضمیمه الف به صورت کامل تعریف گردیده است)، که بر روی تابع ارزش عمل می نماید. هم چنین ، بردار گرادیان و ، طول هر مرحله است. به منظور همگرا شدن معادله مذکور، می بایست، ، کوچکتر از یک گردد. در روش نیوتن، مقدار ، با همگرایی عبارت بالا (تابع هزینه) و تخمین آن به صورت عملی حول یک نقطه ایستان، به دست می آید. در عبارت فوق، تابع منفی گرادیان، دارای جهت نزولی در جهت بردار گرادیان بوده و برای این که تابع () نیز یک تابع نزولی شود، می بایست، ماتریس ، یک ماتریس مثبت معین باشد. در حقیقت، اگر تخمین اولیه ، خیلی دورتر از مقدار واقعی آن باشد، آن گاه ، تخمین مناسبی ارائه نخواهد داد و بنابراین به ازای کلیه مقادیر انتخابی برای ، نمی توان تخمین صحیحی از را ارائه نمود. هم چنین باید توجه داشت که محاسبه ماتریس ، به عملیات سنگین و طاقت فرسایی نیاز دارد.

به منظور حل مسئله مذکور، سعی شده است که ماتریس ، به روش ساده تری تخمین زده شود که این روش منجر به این خواهد شد که ماتریس ، قطعاً یک ماتریس مثبت معین گردد. در این روش سعی بر آن است که با بهره گرفتن از بزرگ، به صورت مجانبی، ماتریس تخمین زده شود. به این تکنیک، روش تصویر متغیر اصلاح شده^[۸۶] () اطلاق می گردد. در حقیقت، این روش بسیار شبیه به روش گوس نیوتن برای حل مسائل غیرخطی ^[۸۷] می باشد. این الگوریتم، به منظور رفع مشکلات پردازش آرایه ها، توسط ویبرگ [۴]استفاده شده است، که در ادامه به توضیح الگوریتم ویبرگ پرداخته خواهد شد.

ابتدا بردار را به صورت زیر تعریف می نماییم:

(۳-۷۹)

با جایگذاری رابطه (۳-۷۹)، خواهیم داشت:

(۳-۸۰)

با محاسبه مشتق تابع ، نسبت به ، خواهیم داشت:

(۳-۸۱)

(۳-۸۲)

هم چنین مشتق ماتریس تصویر بردار ()، به شکل زیر خواهد بود: {۳۳و۱۶}

(۳-۸۳)

(۳-۸۴)

با جایگذاری رابطه (۳-۸۳) در رابطه (۳-۸۱) داریم:

(۳-۸۵)

که ، ماتریس قطری، شامل المان های قطر اصلی ماتریس ، می باشد.

(۳-۸۶)

در گام بعدی، می بایست، ماتریس هسین^[۸۸] محاسبه گردد. با گرفتن مشتق، از معادله (۳-۸۱) نسبت به ، تساوی زیر حاصل می گردد:

(۳-۸۷)

با در نظر گرفتن ملاحظات گوسی، در روش نیوتن و صرف نظر از مشتق دوم که بسیار کوچک است، داریم:

(۳-۸۸)

با توجه به این که ، تساوی زیر برقرار خواهد بود:

(۳-۸۹)

در اصلاحیه کافمن بر روش نیوتن، (۳۱) از جمله دوم صرفنظر شده و معادله به شکل زیر تقریب زده
می شود:

(۳-۹۰)

هم چنین در قالب نماد ماتریسی، به شکل زیر نمایش داده می شود:

(۳-۹۱)

که در معادله فوق، ، ضرب هادامارد^[۸۹] می باشد. در حقیقت الگوریتم ارائه شده، در معادلات (۳-۷۸) تا
(۳-۸۵) و (۳-۹۱) خلاصه می گردد. باید توجه نمود، به منظور همگرا شدن الگوریتم به مینیمم محلی
می بایست، اندازه ، به صورت مناسبی، انتخاب گردد. در روش نیوتن، بوده و معمولاً آن را به صورت نشان می دهند، که و کوچکترین مقدار صحیح ممکن می باشد.

۳-۳-۱۴- ملاحظات عملی در روش

در عمل، استفاده از روش ^[۹۰]، نیاز به رعایت مجموعه ای از ملاحظات دارد. به عنوان مثال، می بایست آرایه آنتن ها به دقت کالیبره شده باشد، در غیر این صورت، تاثیر قابل توجهی در خروجی به دست آمده، خواهد گذاشت. هم چنین، به منظور محاسبه تابع هزینه^[۹۱] و ماتریس هسین^[۹۲]، تابع هزینه، می بایست نسبت به ، دو بار مشتق پذیر باشد. به علاوه، مقدار دهی اولیه، به منظور همگرایی الگوریتم نیز می بایست با دقت کافی صورت پذیرد. به منظور مقدار دهی اولیه، می توان ابتدا از روش ، استفاده نموده و مقادیر اولیه محاسبه گردد. سپس از الگوریتم ، برای محاسبه مقادیر، به میزان دقیق تر استفاده می شود. اما
می بایست توجه نمود که از روش ، تنها برای سیگنال های ارسالی که ناهمبسته باشند، می توان استفاده نمود. یکی دیگر از روش های قابل کاربرد برای مقداردهی اولیه در روش ، روش بردار تصویر متناوب^[۹۳] است. ایده اصلی الگوریتم ، توسط “واکس^[۹۴]” و “زیسکایند^[۹۵]” (۳۲) به منظور حل مسائل چند بعدی، از طریق جایگزینی آن توسط مسائل یک بعدی شکل گرفت. این روش را می توان به کلیه منابع، اعم از همبسته یا ناهمبسته اعمال نمود. اگرچه این روش در حالت کلی، به یک مقدار مینیمم محلی، همگرا می گردد، ولی سرعت همگرایی آن در صورتی که ماتریس هسین به شکل نامناسب تعریف شده باشد، بسیار کند خواهد بود.

در روش ، در واقع با اجرای الگوریتم به صورت سلسله مراتبی، ‌سعی در بهبود خروجی و افزایش دقت محاسبه زوایای ورودی داریم. در واقع، در هر مرحله از محاسبه می بایست، مقادیر تابع ، تقریب زده شود. هم چنین به منظور محاسبه عبارت های فوق، می بایست و به دست آید که به این منظور می توان از روش تجزیه ، استفاده نمود.

(۳-۹۲)

بنابراین:

(۳-۹۳)

(۳-۹۴)

و در نهایت توابع ، به شکل زیر تعریف می گردد:

(۳-۹۵)

(۳-۹۶)

(۳-۹۷)

هم چنین پارامترهای داخلی آن به شکل زیر بیان می گردد:

(۳-۹۸)

(۳-۹۹)

(۳-۱۰۰)

۳-۳-۱۵- روش های جهت یابی همبسته زیرفضایی(^[۹۶])

همانگونه که قبلاً توضیح داده شد،‌ روش های همبسته، خروجی بسیار مناسب تری، نسبت به روش های ناهمبسته ارائه می دهند. در این قسمت، به بررسی جزئیات استفاده از چند روش معرفی شده و ارائه توضیحات بیشتر پرداخته خواهد شد.

همان گونه که قبلاً مطرح گردید،‌ در این روش ها ابتدا، اطلاعات هر بین فرکانسی باند باریک، توسط تابع انتقال به یک فرکانس مرجع انتقال داده شده و در نهایت به گونه ای با یکدیگر ترکیب می گردند که منجر به افزایش تا حد قابل قبول خواهد شد. در این حالت ، به ازای هر ، ماتریس جهت دهی در هر بین فرکانسی تعریف می گردد.

اگر ماتریس های ، به ازای هر ، دارای رتبه باشد، ماتریس
غیر منفرد، به ازای هر ، با ابعاد به گونه ای وجود دارد که:

(۳-۱۰۱)

باید توجه نمود که ماتریس، منحصر به فرد نمی باشد. فرض کنیم که ماتریس جهت دهی ، توسط ماتریس ، در همسایگی و محدوده ای از ، انتقال یابد. هرچه انتقال یافته به ماتریس ، نزدیک تر باشد، عمل انتقال از کیفیت بهتری برخوردار خواهد بود. در حقیقت ماتریس انتقال، یک کلاستر حول فضای ، ایجاد می نماید. در بهترین حالت تمرکز، هر بردار (ستون) ماتریس ، دقیقاً به بردار متناظر خودش در فضای ، انتقال می یابد. این خاصیت را می توان در نرم فربینیوس مشاهده نمود. مربع نرم فربینیوس، یک ماتریس معادل است با جمع مربعات نرم اقلیدسی هر بردار ستونی ماتریس. بنابراین استفاده از ماتریس های تمرکز متفاوت، کیفیت های متفاوتی را ایجاد خواهد نمود. در ادامه به بررسی دو روش مختلف پرداخته خواهد شد.

۳-۳-۱۶- روش ماتریس تمرکز قطری

همان گونه که پیشتر اشاره گردید، به منظور استفاده از روش ، به یک مقدار اولیه برای زوایای ورود نیاز است که می توان آن را از روش های تخمین جهت دهی کلاسیک بین های فرکانسی محاسبه نمود و با جایگذاری آن در معادله (۳-۱۰۱)، ماتریس را محاسبه کرد. با فرض این که بردار زوایای ورود اولیه محاسبه شده در مرحله مقدماتی، به زاویه ورود بردار ، نزدیک باشد، داریم:

(۳-۱۰۲)

در حالتی که آرایه سنسورها به صورت خطی باشد، داریم:

(۳-۱۰۳)

در رابطه فوق، ، فاصله بین دو سنسور همسایه می باشد. هم چنین ، برای آرایه دایره ای یکنواخت به صورت زیر تعریف می گردد:

(۳-۱۰۴)

که در آن ، به صورت زیر قابل تعریف است:

(۳-۱۰۵)

۳-۳-۱۷- روش زیرفضای چرخشی سیگنال^[۹۷]

با داشتن یک تخمین اولیه از زاویه ورود سیگنال های ارسالی به شکل ، یک روش کلی ماتریس متمرکز کننده واحد، با این فرض که ، به عنوان روش زیرفضای سیگنال، به شکل زیر تعریف می گردد:

(۳-۱۰۶)

در عبارات فوق، ، نرم فربینیوس و ، بردار تخمین مقدماتی می باشد. در واقع در این روش ، باعث چرخش زیرفضای بین فرکانسی باند باریک گردیده که حتی الامکان نرم فربینیوس، بدون این که طیف همبستگی سیگنال نویز تغییر یابد، به زیرفضای بین سیگنال باند باریک ، نزدیک گردد. همان گونه که قبلاً اشاره گردید، یکی از جواب های ممکن در این روش به شکل زیر خواهد بود:

(۳-۱۰۷)

که در آن ، ماتریسی است که ستون های آن در بردارنده بردارهای منفرد سمت چپ، و ، ماتریسی است که ستون های آن شامل بردارهای منفرد سمت راست ماتریس می باشد.

پس از انتقال تمام ماتریس باند باریک به یک فرکانس مرکزی ، تخمین زوایای ورود سیگنال پهن باند منجر به حل یک سیگنال باند باریک می گردد که می توان از کلیه روش های باند باریک برای محاسبه خروجی آن استفاده نمود. در ادامه فرمول های کلی مربوط به این روش ارائه می گردد.

خروجی داده هایی از اعمال ماتریس انتقال، در بازه زمانی ام، به شکل زیر تعریف می گردد:

(۳-۱۰۸)

و ماتریس کوواریانس زمانی به صورت زیر قابل تعریف است:

(۳-۱۰۹)

که در عبارت فوق، ، در حقیقت، ماتریس جهت دهی آرایه فقط به ازای یک زاویه ورود
می باشد و در حالت واقعی، است.

در نهایت ماتریس کوواریانس زمانی کل، با عنوان ، به شکل زیر تعریف می گردد:

(۳-۱۱۰)

با بهره گرفتن از معادلات (۳-۱۱۰) در معادلات فوق داریم:

(۳-۱۱۱)

که در آن ، به شکل زیر تعریف می گردد:

(۳-۱۱۲)

با بهره گرفتن از ماتریس ، به گونه ای که را بر آورده نماید،‌ طیف توان نویز از زیر فضای سیگنال مستقل خواهد گشت

در ادامه مراحل اجرای روش های توضیح داده شده، به صورت خلاصه و گام به گام بیان می گردد:

1. اعمال به خروجی سنسورهای آرایه به شکل زیر

(۳-۱۱۳)

1. ایجاد ماتریس کوواریانس فضایی به ازای هر بین فرکانسی

(۳-۱۱۴)

1. تشکیل ، به ازای هر زاویه ورود و محاسبه ماتریس کوواریانس با بهره گرفتن از معادله (۳-۱۱۰)
2. محاسبه مقدار مقدماتی ، ، با بهره گرفتن از روش کاپون در ماتریس به دست آمده

(۳-۱۱۵)

1. در صورتی که دقت بالاتری مورد نیاز باشد، می توان ماتریس جهت دهی را به ازای ، که ماتریسرا ماکزیمم می نماید اعمال کنیم.
2. اعمال روش تجزیه مقدار منفرد یا ^[۹۸]به ماتریس جهت دهی به دست آمده

(۳-۱۱۶)

که در آن

(۳-۱۱۷)

(۳-۱۱۸)

(۳-۱۱۹)

(۳-۱۲۰)

و و سیگنال های همبسته در نویز فضای منبع می باشد.

1. محاسبه عدد به روش به منظور محاسبه ماکزیمم تابع زیر

(۳-۱۲۱)

۳-۳-۱۸- استفاده از ماتریس کانونی در روش

با بهره گرفتن از خصوصیات عملگر تریس^[۹۹] و هم چنین با اعمال ماتریس کانونی به الگوریتم ، می توان زاویه ورود را به شکل زیر محاسبه نمود:

(۳-۱۲۲)

باید توجه نمود که ماتریس کانونی اعمال شده در فرمول بالا، دارای خاصیت یکانی می باشد (ماتریس یکانی متمرکز). با جایگذاری عبارت ، به جای ، در معادله بالا
می توان زاویه ورود را با بهره گرفتن از الگوریتم و ماتریس کانونی به دست آورد که به اختصار به آن زیرفضای وزن دهی متمرکز^[۱۰۰] گفته می شود:

(۳-۱۲۳)

بایستی توجه نمود که در معادلات بالا، برای محاسبه بردار ، و تعیین تخمینی از آن فقط می توان به ازای یک خاص مراحل تخمین را انجام داد. چرا که در هر لحظه، به منظور محاسبه ماتریس کوواریانس دریافتی کانونی شده ی ،‌ عمل کانونی نمودن فقط به ازای یک پارامتر ، می تواند صورت پذیرد.

۳-۳-۱۹– روش وزن دهی متوسط به زیر فضاهای سیگنال(^[۱۰۱])

یکی دیگر از روش های جدید شناسایی زوایای دریافتی،‌ نام دارد که خود از نوع روش های همبسته می باشد. در حقیقت، در این روش ابتدا یک ماتریس شبه دیتا با الگوبرداری از روش
(وزن دهی منطبق زیرفضایی) تولید می گردد. در الگوریتم ، زیر فضای نویز در فرکانس مرجع با بهره گرفتن از محاسبه ماتریس شبه دیتا تخمین زده می شود. ماتریس شبه دیتای به صورت زیر تعریف می گردد:

(۳-۱۲۴)

که ، ماتریس کانونی و ، زیرفضای سیگنال در فرکانس می باشد. ماتریس کانونی را می توان از روش های مختلف موجود از جمله و یا استخراج نمود. هنگامی که سیگنال نویز دارای توزیع گوسی باشد، ماتریس به صورت یک ماتریس وزن دهی متقارن تعریف می گردد که المان ام قطر اصلی ماتریس به شکل زیر خواهد بود:

(۳-۱۲۵)

در حقیقت، وجود ماتریس های وزن دهی در الگوریتم ، موجب می گردد که این الگوریتم نسبت به ، در مقابل نویز مقاوم تر باشد. با این وجود با توجه به این که این روش کماکان از ماتریس متمرکز کننده (ماتریس کانونی) استفاده می کند، عملکرد آن بسته به نوع روش محاسبه ، دارای مزایا و معایب متفاوتی می باشد. با فرض این که مقادیر ویژه ماتریس به شکل نزولی مرتب شده است ()، مقادیر برابر با امین مقدار ویژه مربوط به ماتریس (ماتریس کوواریانس در فرکانس ام( می باشد. با فرض ثابت بودن توان نویز در تمام بین های فرکانسی تعریف شده است. با توجه به ، مقدار بهینه ماتریس وزن دهی در حالتی که سیگنال و نویز دارای توزیع گوسی باشند،‌حاصل می گردد.

با تجزیه ماتریس ، به زیرفضای سیگنال و نویز، ماتریس را می توان به شکل زیر تعریف نمود:

(۳-۱۲۶)

با توجه به این که ماتریس ، یک ماتریس می باشد،‌ با فرض داشتن منبع سیگنال مستقل، زیرفضای که معرف زیرفضای نویز بوده،‌ یک ماتریس خواهد بود و با تجزیه ماتریس ، به شکل فوق می توان آن را به دست آورد و سپس با بهره گرفتن از الگوریتم ، زوایای ورود را تخمین زد. هم چنین می توان مشابه روش ، ماتریس کوواریانس ورودی ترکیبی به شکل زیر را از ماتریس ، استخراج نمود:

(۳-۱۲۷)

با توجه به فرمول فوق، ماتریس کوواریانس ورودی محاسبه شده از طریق ، در حقیقت برابر با مجموع ماتریس کوواریانس در هر بین فرکانسی است. شایان ذکر است که قبل از جمع شدن ماتریس کوواریانس، هر بین از یک فیلتر عبور داده شده و پس از عبور از فیلتر،‌ مقادیر ویژه متناظر با زیرفضای نویز صفر گردیده و مقادیر ماتریس وزن دهی اعمالی موجب تبدیل مقادیر ویژه زیرفضای سیگنال می گردد. در حقیقت با بهره گرفتن از الگوریتم WAVES، زیرفضای نویز، صفر در نظر گرفته شده و با اعمال ، سهم زیرفضای سیگنال هایی که دارای مقادیر ویژه بیشتری نسبت به زیرفضای نویز هستند، در الگوریتم افزایش می یابد. به دلیل اعمال این تبدیل غیر خطی، در حقیقت روش ، پایداری بیشتری نسبت به روش در برابر نویز دارد.

فصل چهارم

الگوریتم TOPS

1.  

۴-۱- مقدمه

در این فصل، یک روش جدید محاسبه زوایای ورود، مربوط به سیگنال های پهن باند معرفی می گردد. این روش جدید، تحت عنوان “آزمایش تصویر زیرفضای عمود” (^[۱۰۲])، شناخته شده است.

در حقیقت در این روش، معایب دو روش کلی تخمین به روش های همبسته و ناهمبسته برطرف گردیده و از ترکیب آن ها روشی به نام ، معرفی گردیده که مزایای هر دو گروه را تقریباً شامل می گردد.

۴-۲- مفاهیم پایه

همانند کلیه روش های مطرح شده برای تخمین زاویه ورودی سیگنال های پهن باند به وسیله آرایه ای از آنتن ها، تابع خروجی آرایه، تابعی از فرکانس سیگنال ارسالی، زاویه ورود، نویز و…، مطابق فرمول کلی زیر می باشد:

(۴- ۱)

تعاریف صورت پذیرفته در این پایان نامه، ابتدا در فضای یک بعدی مطرح می گردد، اما در این روش
می توان از آرایه ای دو بعدی نیز برای استخراج زوایا استفاده نمود. هم چنین نوع چینش آنتن ها نیز
می تواند غیرخطی باشد. بر خلاف روش های همبسته، در این روش احتیاجی به محاسبه مقدار اولیه برای زوایای کانونی نمی باشد که خود باعث ایجاد خطا در مراحل محاسبه تخمین در روش های همبسته
می گردد. علاوه بر این، بر خلاف روش های ناهمبسته،‌ در روش ، اطلاعات مربوط به هر بین فرکانسی ابتدا با یکدیگر ترکیب شده و سپس زوایای ورود بر اساس اطلاعات ترکیبی به دست آمده محاسبه می گردد. همان گونه که طرح گردید، در روش ، مشابه روش و ، از ماتریس کانونی به منظور ترکیب داده های بین فرکانسی متفاوت استفاده می گردد. اما دو تفاوت اصلی با روش های قبلی دارد:

1. در این روش فقط زیرفضای نویز در فرکانس های متفاوت محاسبه می گردد.
2. ماتریس کانونی به خصوصیات فضایی آنتن ها(محل قرارگیری آنتن ها) وابسته بوده و در حقیقت تابعی از ماتریس جهت دهی آرایه آنتن می باشد. باید توجه نمود که، در روش های قبلی، ماتریس کانونی از زیرفضای سیگنال ها تشکیل می گردید.

در حقیقت در روش ، با توجه به عدم اطلاعات کافی از کل زیرفضای سیگنال، سعی بر این است که به جای کل زیرفضای سیگنال،‌ تنها یک بردار جهت دهی از ماتریس آرایه درون زیرفضای سیگنال انتقال یابد. این عمل، موجب کاهش خطا در مرحله انتقال شده و تخمین دقیق تری نسبت به روش های قبلی ایجاد
می نماید.

۴-۳- ارائه یک مدل ریاضی

اگر المان ام بردار جهت دهی در فرکانس با فرض زاویه ورود مشخص ، در همان المان (المان ام بردار جهت دهی) اما با فرکانس متفاوت و زاویه ورود ضرب گردد، داریم:

(۴- ۲)

به طور کلی، می توان این حاصلضرب را با بهره گرفتن از سه معادله زیر معرفی نمود:

که در آن

اصل ۱: یک آرایه خطی از آنتن ها، با بردار جهت دهی ، مفروض می باشد، همواره ماتریسی به شکل وجود دارد، به گونه ای که :

(۴- ۳)

باید توجه نمود در صورتی که آرایه آنتن، یک بعدی و یا حداکثر دو بعدی باشد، همواره که معادل یک بردار جهت دهی است را می توان به گونه ای پیدا نمود که، معادله بالا را ارضا نماید. در حالت سه بعدی، ممکن است نتوان بردار که نماینده یک بردار جهت دهی واقعی باشد را، پیدا نمود. همان گونه که پیش تر نشان داده شد، روابط بین های فرکانسی و زوایای ورود آرایه به شکل زیر تعریف
می گردد:

(۴- ۴)

(۴- ۵)

در حقیقت، با توجه به اصل بیان شده،‌ با ضرب بردار ، به ازای و مناسب، در بردار
جهت دهی آرایه، به ازای هر فرکانس و زاویه ورود، می توان آن را به یک بردار جهت دهی جدید در فرکانس و زاویه دلخواه، تبدیل نمود.

در حالت خاص، به ازای ، زاویه، می گردد. به عبارت دیگر، به ازای زاویه ورود ، و با در نظر گرفتن در همان زاویه ورود ()، می توان بردار جهت دهی آرایه در فرکانس دلخواه را به فرکانس انتقال داد بدون این که زاویه ورود () تغییر نماید. الگوریتم ، بر اساس ایده فوق الذکر،
پایه گذاری شده است.

اصل ۲: اگر تعریف گردد، خواهیم داشت:

که معرف برد ماتریس بوده و خواهیم داشت:

که ، زیر فضای سیگنال در فرکانس ام، و ، تابع انتقال مربوطه می باشد. در حقیقت برد انتقال یافته زیرفضای سیگنال، از فرکانس ام به فرکانس ام، برابر با برد ماتریس جهت دهی در فرکانس ام، و به ازای زاویه ورود ، می باشد.

اثبات:

با توجه به اصل ۱ و با توجه به یکسان بودن برد زیرفضای سیگنال و برد زیرفضای ماتریس، به سادگی داریم:

(۴- ۶)

که ، در حقیقت اختصار بوده و ، یک ماتریس مربعی با بعد کامل (رنک کامل)
می باشد.

تئوری ۱: با فرض، ماتریس ، یک ماتریس بوده و به ازای داریم:

(۴- ۷)

که، و ، زیر فضای سیگنال در بین فرکانسی یکم می باشد. بنابراین ماتریس ، به ابعاد به شکل زیر تعریف می گردد:

(۴- ۸)

در نتیجه

الف: به ازای ، که موجب می شود، ماتریس ، از حالت فول رنک خارج گردد (مرتبه آن کاهش یابد). شایان ذکر است، ، زوایای ورود سیگنال هستند که به صورت صحیح
تخمین زده شده اند.

ب: اگر ماتریس ، با مرتبه کامل نباشد،‌ آنگاه یک سری از زوایای ، زوایایی هستند که به نحو صحیح تخمین زده شده اند.)

اثبات: در حقیقت، تئوری فوق بیان می کند، در صورتی که یک سری از زوایای تخمین زده شده،‌ زوایای واقعی ارسال سیگنال باشد، در این صورت ماتریس ، از حالت فول رنک خارج می گردد و بالعکس.

فرض کنیم که ، برابر با زاویه ورود سیگنال ام بوده که به نحو صحیح تخمین زده شده است و زیرفضای نویز مربوط به آن باشد، در این صورت داریم:

با توجه به اصل ۲، که در مطالب فوق به آن اشاره گردید، داریم:

(۷۸) (۴- ۹)

به ازای ، در صورتی که ، تساوی زیر برقرار خواهد بود:

در نتیجه به ازای داریم:

(۴- ۱۰)

در حقیقت، هنگامی که ، زاویه ورودی باشد که به صورت صحیح تخمین زده شده است، حداقل یکی از بردارهای به گونه ای که ( و ) بر بردار زیرفضای نویز ، عمود می گردد. در نتیجه، سطر ام ، برابر با صفر گردیده و ماتریس به شکل زیر تعریف خواهد گردید:

و ماتریس از حالت مرتبه کامل خارج می گردد. در این حالت ، معادل یکی از زوایای ورود سیگنال می گردد.

اثبات قسمت ب: فرض بر این است که، دارای مرتبه کامل نبوده و معادل هیچکدام از زوایای ورود سیگنال نباشد. با توجه به این که در ماتریس ، تعداد ستون ها از تعداد سطرها بیشتر بوده و ، یک ماتریس قطری با مرتبه کامل است، در نتیجه بردارهای سطری ماتریس زیر می بایست به صورت خطی وابسته باشد.

(۴- ۱۱)

دو حالت کلی به صورت ذیل می توان در نظر گرفت:

در حالت اول، هیچکدام از زوایا معادل زوایای ورود سیگنال نیستند و در حالت دوم تعدادی از زوایای اعمال شده در ماتریس ، معادل زوایای ورود سیگنال می باشد.

در حالت اول هیچکدام از سطرهای ماتریس ، به گونه ای که ()، معادل صفر نمی باشد. در این حالت، ماتریس های و به شکل زیر، تعریف می شوند:

که ماتریس جهت دهی به ازای زوایای ورود تخمین زده شده می باشد و ماتریس جهت دهی به ازای زوایای ورود اصلی سیگنال می باشد. با توجه به این که ، مرتبه ماتریس و به ترتیب معادل و می باشد. حاصلضرب دو ماتریس به صورت زیر خواهد بود:

بر اساس نامساوی سیلوستر، مرتبه ماتریس در محدوده زیر قرار می گیرد

که ، نشان دهنده مرتبه ماتریس می باشد. بنابراین داریم:

بر طبق نامساوی فوق، ماتریس ، دارای مرتبه کامل است. با توجه به صفر بودن بلوک ماتریس بالا سمت راست مربوط به ، ماتریس ، همواره دارای مرتبه کامل خواهد بود. در حقیقت بردارهای سطری ماتریس، به ازای کلیه ها مستقل از هم می باشند (توجه شود که تعداد ستون های ماتریس بزرگتر از تعداد سطرهای آن است). بنابراین اثبات گردید، در صورتی که ماتریس یک ماتریس منفرد^[۱۰۳] باشد، حداقل یک زاویه ، وجود دارد که معادل زاویه ورود سیگنال خواهد بود. شایان ذکر است، در صورتی که ، به طور قطع، عبارت بالا صحیح می باشد.

حالت دوم: در این حالت، تنها تعدادی از قرار داده شده به جای معادل زاویه ورود سیگنال می باشد. هم چنین می بایست اشاره نمود که امکان دارد که معادل هیچ زاویه خاصی نباشد. اما به ازای (به ازای ) که در عبارت زیر صادق باشد:

(۴- ۱۲)

در این حالت می بایست، ها حداقل دارای یک سطر کاملاً مساوی صفر باشد. در نتیجه مرتبه ماتریس کاهش یافته و دیگر دارای مرتبه کامل نخواهد بود. بدون از دست رفتن شرایط کلی، فرض می کنیم که مثلاً به ازای معادل باشد. در این صورت داریم:

که ، یک بردار با المان های برابر صفر است، به جز سطر ام که برابر با ۱ می باشد، کل فضای کرنل صفر ماتریس را می توان به وسیله بردارهای پایه ایجاد نمود. اگر ماتریس یک ماتریس منفرد باشد، داریم:

(۴- ۱۳)

که مشخص کننده زیرفضای چپ کرنل می باشد. با توجه به خاصیت عمود بودن
بردارهای پایه ، می توان بیان نمود که به ازای ، یک بردار و حداقل یک زاویه ورودی وجود دارد که برابر با یکی از زوایای ورودی سیگنال ارسالی باشد. هم چنین عبارت زیر به ازای کلیه ها برقرار خواهد بود:

(۴- ۱۴)

با فرض این که باشد، در این صورت با توجه به فرمول (۴- ۱۲)، برابر با یکی دیگر از زوایای ورود مربوط به سیگنال دیگر خواهد بود. بنابراین اگر ، هیچ بردار وجود نخواهد داشت که به ازای عبارت برقرار گردد و ماتریس ، یک ماتریس غیرمنفرد خواهد بود. هم چنین به ازای برای کلیه سیگنال ارسالی، ماتریس به ازای (که بعضی از زوایای ورود سیگنال است) به یک ماتریس منفرد تبدیل می گردد.

۴-۴- توسعه الگوریتم به فضای چند بعدی

در قسمت قبل الگوریتم را برای حالت یک بعدی بررسی نمودیم. در این قسمت، الگوریتم، برای حالت کلی آرایه چندبعدی بررسی خواهد گردید. باید دقت نمود که باز هم از فرض مستقل بودن بردارهای ماتریس مانیفولا به ازای زوایای مختلف و هم چنین رعایت فاصله بین آنتن ها، به منظور جلوگیری از ایجاد تداخل فضایی^[۱۰۴] سیگنال های مشابه که می بایست حتی الامکان فاصله آنتن ها به یکدیگر نزدیک باشد، استفاده می گردد.

به منظور دست یابی به جواب صحیح در روش ، می بایست به طور کلی دو شرط زیر برقرار باشد:

1. همواره می بایست یک ماتریس انتقال به شکل زیر موجود باشد:

(۴- ۱۵)

1. ماتریس می بایست همواره غیرمنفرد بوده مگر این که، برابر با یک یا چند زاویه ورود سیگنال باشد. شرط دوم خود دارای دو حالت می باشد:

الف: به ازای ، که، یکی از زوایای ورود سیگنال بوده، ماتریس یک ماتریس منفرد است.

ب: به ازای کلیه و ماتریس ، هرگز منفرد نمی گردد. در حقیقت، به ازای کلیه ها به جز زوایای مورد نظر، همواره یک ماتریس غیر منفرد است و هیچ گونه هشدار خطا^[۱۰۵] وجود ندارد. برای یک آرایه دلخواه چندبعدی می بایست بردارهای ماتریس مانیفولا را دوباره تعریف نمود. با فرض خطی بودن آرایه، به منظور ساده تر شدن روابط می توان مقدار ضریب المان ام آرایه را به صورت زیر تعریف نمود:

(۴- ۱۶)

که ، محل قرارگیری آرایه ام نسبت به آنتن مرجع، و بردار ، برابر با بردار آهستگی است که به شکل زیر تعریف می گردد:

(۴- ۱۷)

که در آن و به ترتیب زاویه افقی و زاویه ارتفاع می باشد(رفرنس داده نشده)

همان طور که می دانیم، اندازه بردار ، معکوس سرعت انتشار موج می باشد. در صورت ضرب مقادیر بردار جهت دهی المان های ام دو آرایه در دو فرکانس متفاوت، حاصل به صورت زیر می باشد:

(۴- ۱۸)

(۴- ۱۹)

در صورتی که (برابر بودن بردار آهستگی مربوط به دو آرایه)، معادله فوق به شکل زیر خواهد بود:

(۴- ۲۰)

که در واقع معادل با بردار آهستگی همان آنتن، ولی در فرکانس می باشد. با توجه به نتایج بالا، ماتریس انتقال ، همانند قبل به شکل زیر خواهد بود:

(۴- ۲۱)

و در نتیجه

(۴- ۲۲)

(۴- ۲۳)

و ، می بایست بردار آهستگی معتبر باشد. به منظور محاسبه ، به گونه ای که دارای مقداری معتبر باشد،‌ با توجه به روابط قبل داریم:

(۴- ۲۴)

که در آن به شکل زیر تعریف می گردد:

(۴- ۲۵)

به ازای ، آن گاه می گردد و معادله فوق دارای معتبری است اما در صورتی که آن گاه ، یک بردار آهستگی معتبر نمی باشد. چرا که :

(۴- ۲۶)

به ازای ، حالت تساوی برقرار می گردد، اما به ازای همواره کوچکتر و معکوس سرعت انتشار بوده و را نمی توان به عنوان یک بردار آهستگی معرفی نمود. اما در بعضی شرایط می توان را به عنوان بردار آهستگی معتبر تهیه نمود، به گونه ای که رابطه زیر برقرار باشد:

(۴- ۲۷)

با فرض این که ، باشد می توان را به صورت
تعریف نمود. بنابراین خواهیم داشت:

(۴- ۲۸)

در صورتی که مشخصات فضایی آرایه، دارای هر سه بعد باشد، آن گاه مختصات فضایی در جهت ، از یکدیگر مستقل بوده و بردار ، می بایست دقیقاً برابر با باشد و در این حالت جوابی معتبر برای وجود ندارد. اما در حالتی که مختصات آرایه، یک بعدی یا دو بعدی باشد، همواره مقدار معتبری وجود دارد که در روابط بالا صدق نموده و هم چنین . در این صورت مقدار بردار جهت دهی برابر با خواهد شد.

۴-۵- تصویر در راستای زیرفضای سیگنال

در عمل ماتریس همبستگی ، که در محاسبات اعمال می گردد وجود نداشته و می بایست تخمینی از آن را به جای مقدار واقعی آن در محاسبات اعمال نمود. به منظور محاسبه این تخمین می بایست خروجی داده های آنتن ها را به بلوک هایی مشخص از نمونه ها (شامل مثلاً بلوک) که هر بلوک دارای نمونه
می باشد،‌ تقسیم نموده،‌ سپس از هر بلوک با نقطه گرفته شود. در حقیقت تعداد نقطه برابر با تعداد نمونه های هر بلوک است. بنابراین اگر برابر با نمونه بلوک ام در بین فرکانسی باشد، داریم:

(۴- ۲۹)

از روی تخمین زده شده، می بایست مقادیر و ، به وسیله تجزیه به بردارهای ویژه حاصل گردد. راندمان محاسبه تخمین زاویه ورود به مقدار بسیار زیادی، به میزان دقیق بودن تخمین ماتریس همبستگی، بستگی دارد. کیفیت تخمین ماتریس همبستگی به طور کامل به تعداد بلوک ها ، ها، و ، وابسته می باشد که معمولاً به وسیله پردازنده آنتن گیرنده،‌ قابل کنترل نمی باشد. اما به وسیله اعمال عملگر^[۱۰۶] بر روی داده ها، می توان مقداری از خطای حاصل شده در مراحل تخمین را کاهش داده و را با خطای کمتری تولید نمود. همان گونه که قبلاً مطرح گردید، بردار تصویر ، به صورت زیر قابل تعریف می باشد:

(۴- ۳۰)

در حقیقت، ، تصویر در راستای فضای صفر بردار ، می باشد. سپس به منظور ایجاد ، به جای قرار دادن ، آن را با جایگذاری می نماییم که با عبارت زیر برابر خواهد بود:

(۴- ۳۱)

با این جایگذاری، میانگین مربعات خطا کاهش می یابد.

اثبات:

فرض می کنیم و ، برابر با مقادیر تخمین زیرفضای سیگنال و نویز باشد، می توان این تخمین را به صورت حاصل جمع مقدار صحیح به علاوه مقداری خطا در نظر گرفت:

(۴- ۳۲)

(۴- ۳۳)

که و ، به ترتیب رنج و ، می باشند و و ، ماتریس های خطا بوده و به شکل زیر تعریف می گردند:

(۴- ۳۴)

(۴- ۳۵)

که عملگر ، کرنل زیرفضای مورد نظر را تولید می کند و ، رنج زیر فضا را تولید می نماید. در صورتی که تعداد نمونه ها بسیار زیاد باشد، می توان فرض نمود که

(۴- ۳۶)

(۴- ۳۷)

در عبارات فوق نرم فربنیوس می باشد.

با در نظر گرفتن ، به ازای ( یکی از زوایای ورود است) داریم:

(۴- ۳۸)

دقت شود که از جمله با مرتبه دوم صرف نظر گردیده است. در عبارت بالا، برد برابر با برد ماتریس می باشد. در حقیقت ترم های دوم و سوم، مانع از صفر شدن یکی از سطرهای ماتریس ، به ازای می گردند. با اعمال ماتریس در عبارت بالا، ترم دوم هیچ گونه تغییری نمی کند. چون و می باشد، در حقیقت

(۴- ۳۹)

اما با اعمال در عبارت سوم داریم:

(۴- ۴۰)

در حقیقت، با اعمال ماتریس ، در عبارت بالا، مقدار احتمالی موجود در ماتریس حذف
می گردد و عبارت بالا به شکل زیر قابل تعریف خواهد بود:

(۴- ۴۱)

در واقع عبارت بالا، شامل دو ترم از خطا بوده که با اعمال ماتریس ، یک ترم از خطا حذف گردیده و دقت خروجی افزایش می یابد. با اعمال ماتریس ، مقادیری از زیرفضای سیگنال که به صورت خطا در زیرفضای نویز تخمینی وارد شده است، صفر می گردد. در ضمن دقت شود که در صورتی می توان از ماتریس در محاسبات فوق استفاده نمود که فاصله بین آنتن ها کوچکتر از نصف طول موج معادل بزرگترین فرکانس، در مرحله پردازش باشد و در صورت استفاده از فرکانس مرکزی به عنوان مرجع، تداخل^[۱۰۷] ایجاد خواهد گردید.

۴-۶- الگوریتم محاسبه

در عمل، پس از محاسبه تخمین زیرفضای سیگنال و نویز و تشکیل ، این ماتریس به علت وجود خطا هرگز منفرد نمی گردد. پس می بایست به جای این که به دنبال منفرد شدن ماتریس باشیم، سعی در تعیین میزان نزدیک تر شدن(به ازای های مختلف) به یک ماتریس منفرد نماییم.
بدین منظور می توان، با محاسبه کوچکترین مقدار ویژه ماتریس ، (به ازای های مختلف)، خروجی را به دست آورد. با توجه به توضیحات مذکور می توان الگوریتم را به شکل زیر تعریف نمود:

1. خروجی آنتن ها را به بلوک های با تعداد نمونه مشخص شامل بلوک تقسیم می نماییم.
2. از هر بلوک ، با نقطه می گیریم. بنابراین در حقیقت می بایست به ازای هر آنتن بلوک جداگانه گرفته شود.
3. به ازای بلوک ام، را انتخاب نموده که در آن مربوط به فرکانس می باشد.
4. زیرفضای سیگنال را محاسبه نموده و ، زیر فضای نویز را به ازای از طریق تخمین ماتریس همبستگی محاسبه می نماییم.
5. ماتریس را با فرض به عنوان زاویه ورود، تخمین می زنیم.
6. را با توجه به عبارت زیر تخمین می زنیم

(۴- ۴۲)

که در آن ، برابر با کوچکترین مقدار ویژه ماتریس ، به ازای برای آرایه یک بعد و ، برای آرایه دو بعدی می باشد. تخمین فوق شامل محاسبه مقدار است که به ازای های مختلف، باعث حداکثر شدن عبارت می گردد.

۴-۶-۱- پیچیدگی محاسبات

محاسبه دقیق میزان پیچیدگی الگوریتم در عمل بسیار مشکل است. اما تعداد محاسبات به تعداد محاسبه^[۱۰۸] که یک ماتریس از مرتبه می باشد، بستگی دارد. محاسبه مقدار ویژه ماتریس با بهره گرفتن از روش برابر با میزان محاسبه یک ماتریس از مرتبه به ازای هر می باشد.

همان طور که به نظر می رسد، الگوریتم ، عملیات محاسباتی زیادی را شامل می گردد. در الگوریتم و ، پس از محاسبه تخمین ماتریس همبستگی، فقط نیاز به محاسبه یک بار برای
باند باریک سیگنال می باشد. در نتیجه، میزان محاسبات آن نسبت به روش ، بسیار کمتر می باشد. البته در روش ، برای محاسبه ماتریس کانونی نیاز به محاسبه یک ماتریس () به ازای هر بین فرکانسی باند باریک می باشد. با در نظر گرفتن هزینه محاسبات برای پردازش و راندمان خروجی با توجه به توضیحات ارائه شده در انتهای فصل، الگوریتم ، هنوز به عنوان بهترین گزینه در جهت یابی سیگنال های پهن باند مطرح می گردد، هر چند که دارای حجم محاسبات بیشتری نسبت به روش های قبلی است.

فصل پنجم

شبیه سازی الگوریتم های تخمین DOA

برای آرایه های خطی

1.  

۵-۱- مقدمه

در این فصل، برآنیم تا عملکرد الگوریتم های تخمین زاویه ورود سیگنال مبتنی بر زیرفضا و مبتنی
بر پرتودهی سیگنال در حالت پهن باند را که در فصل های گذشته توضیح داده ایم، بررسی نماییم.
بدین منظور، در این پایان نامه، از داده های ایده آل (عاری از اثر ترویج متقابل) و معیار بهره
گرفته شده است. در این راستا، الگوریتم های ذکر شده در این پایان نامه را در محیط MATLAB، با بهره گرفتن از داده های به دست آمده از شبیه سازی یک آرایه خطی یکنواخت، در شرایط عاری از ترویج متقابل، تحت حالات مختلف، مورد بررسی قرار می دهیم. پارامترهایی که در این شبیه سازی ها از اهمیت برخوردار بوده و مورد بررسی قرار می گیرند، به شرح ذیل است:

1. تعداد عناصر آرایه خطی
2. تعداد منابع ارسال سیگنال (با زوایای متفاوت)
3. تعداد نمونه های به کار رفته^[۱۰۹]جهت تخمین ماتریس خودهمبستگی
4. نسبت سیگنال به نویز
5. پهنای باند سیگنال و پهنای باند هر بین فرکانسی که در واقع می توان، آن را با تعداد بین های فرکانسی انتخابی مشخص نمود.

۵-۲- الگوریتم های تخمین

در این پایان نامه، الگوریتم های MUSIC، Capon، CSSM، WAVES و TOPS را شبیه سازی نموده و خروجی های هر کدام را با توجه به حالت های متفاوت بیان شده در بخش (۵-۱)، با یکدیگر مقایسه
می نماییم. بدین منظور، چند سناریوی متفاوت در این بخش تعریف گردیده و به ازای هر سناریو، خروجی این الگوریتم ها با یکدیگر مقایسه می گردد.

۵-۲-۱- معرفی اجمالی الگوریتم های به کار رفته در شبیه سازی

همان گونه که پیش تر، عنوان گردید، الگوریتم های تشخیص زاویه ورود، خود به دو دسته کلی
الگوریتم های همبسته و ناهمبسته تقسیم می شوند. در این فصل، از میان الگوریتم های ناهمبسته به بررسی الگوریتم MUSIC و Capon پرداخته خواهد شد.

۵-۲-۱-۱- بررسی الگوریتم MUSIC و Capon

همان گونه که قبلاً نیز توضیح داده شده است، ابتدا داده های دریافتی را توسط بانک فیلتر FFT به
بین فرکانسی باند باریک تفکیک نموده، سپس، الگوریتم MUSIC و Capon را در هر بین فرکانسی باند باریک، به صورت جداگانه محاسبه نموده و در انتها با بهره گرفتن از میانگین گیری، خروجی را محاسبه
می نماییم.

به منظور میانگین گیری از خروجی الگوریتم ها در هر بین فرکانسی، می توان از سه روش زیر استفاده نمود:

1. میانگین حسابی
2. میانگین هندسی
3. میانگین هارمونیک

در روش میانگین حسابی

(۵-۱)

(۵-۲)

که و ، خروجی الگوریتم موزیک و کاپون در بین فرکانسی ام، می باشد و زاویه تخمین برابر با زاویه ای خواهد بود که باعث حداقل شدن مقدار مجموع خروجی ها در تمام بین های فرکانسی در روش موزیک و کاپون می گردد.

در روش میانگین هندسی

(۵-۳)

(۵-۴)

و به همین ترتیب، در میانگین گیری هارمونیک

(۵-۵)

(۵-۶)

روابط فوق الذکر، برقرار خواهد بود.

۵-۲-۱-۲- الگوریتم همبستگی زیرفضای سیگنال()

همان گونه که قبلاً عنوان گردید، در روش همبسته، ابتدا ماتریس همبستگی را در هر بین فرکانسی تخمین می زنیم. رابطه (۳-۲۰)، تخمین این ماتریس را نشان می دهد. ماتریس همبستگی کل، طبق رابطه (۵-۷) به دست می آید:

(۵-۷)

که در این رابطه ، وزن های مربوط به بین ام است وها، ماتریس های تبدیل می باشند. با توجه به این که هدف ماتریس تبدیل، بردن ماتریس همبستگی در یک بین فرکانسی خاص به ماتریس همبستگی در فرکانس مرجع است، این ماتریس از حل مسئله بهینه سازی زیر به دست می آید:

(۵-۸)

در این رابطه، ، فرکانس مرجع و، بردار زوایای تخمین اولیه ورود منابع هستند که به منظور دستیابی به ماتریس تمرکز، تخمین زده شده اند. همان گونه که در قسمت های قبل بیان کردیم، این تخمین ها کاملاً دقیق نیستند. هرچه این زوایا دقیق تر تخمین زده شوند، ماتریس تمرکزی که به دست می آید بهتر
می تواند تبدیل را انجام دهد. با توجه به این توضیح، ماتریس تمرکز، نقش تعیین کننده ای در روش های همبسته دارد. بسته به نوع ماتریس تبدیلی که در روش های همبسته مورد استفاده قرار می گیرد،
الگوریتم های مختلفی برای جهت یابی، به دست آمده است. در بسیاری از این روش ها سعی شده است، افت عملکرد جهت یاب در حالتی که در تخمین زوایا دچار خطا باشیم، به کمترین مقدار خود برسد. در واقع زوایای تمرکز در این الگوریتم، نقش تعیین کننده ای دارند. یکی از روش هایی که برای کم کردن اثر زوایای تمرکز در پیدا نمودن تبدیل مناسب بیان شده است، الگوریتم [۱۰] است. در این الگوریتم از چندین پرتوساز به جای ماتریس متمرکز کننده استفاده شده است.

یکی دیگر از عواملی که باعث افت عملکرد این روش می شود، این است که باید در هر بین فرکانسی با بهره گرفتن از یک ماتریس تبدیل، چندین بردار جهت دهی با زوایای مختلف به بردار های جهت دهی در فرکانس مرجع تبدیل شوند. توجه داریم در حالتی که تنها یک منبع در محیط باشد، می توان با حل ماتریس تبدیل بهینه و یکتا را به دست آورد. اما هنگامی که تعداد منابع بیش از یکی باشد، چنین حل یکتایی وجود نخواهد داشت.

یکی از روش هایی که برای یافتن ماتریس متمرکز کننده وجود دارد روش ^[۱۱۰] است [۸]. این تبدیل
به گونه ای تعریف می شود که کمترین افت تمرکز^[۱۱۱] را ایجاد کند. معیارِ افت تمرکز بصورت بعد از تبدیل به قبل از آن تعریف می شود:

(۵-۹)

که در این رابطه، ، نشان دهنده جمع مقادیر قطر اصلی ماتریس است و ماتریس همبستگی نویز محیطی بعد از انجام تبدیل است:

(۵-۱۰)

در [۸] نشان داده شده است که بیشترین مقدار که یک است، هنگامی به دست می آید که مستقل از بین فرکانسی ام باشد. [۸] یک نمونه از تبدیل را نشان می دهد. ماتریس های
متمرکز کننده به گونه ای است که شرط رعایت شود. در [۸] اثبات شده است که ماتریس تبدیل بین فرکانسی ام به صورت زیر به دست می آید:

(۵-۱۱)

که در آن،، ماتریسی است که ستون های آن در بردارنده بردارهای منفرد^[۱۱۲] سمت چپ است. نیز ماتریسی است که ستون های آن، شامل بردارهای منفرد سمت راست ماتریس است.

درنهایت، باید گفت که نتایج بررسی ها نشان می دهد که این الگوریتم، نسبت به الگوریتم های ناهمبسته، حد تفکیک بالاتری دارد و در های پائین، مقاوم است. با این حال دیده شده است که زوایای تمرکز،
نقش تعیین کننده ای بر عملکرد الگوریتم های از این دست دارند.

در [۱۱]، روش جدیدی برای یافتن ماتریس متمرکز کننده بیان شده است که نسبت به اشتباه، در تخمین اولیه زوایای منابع، مقاوم می باشد. در این روش تعداد سنسورها میتواند با تعداد منابع موجود در محیط برابر باشد (در اغلب روش های جهت یابی بایستی تعداد سنسورها حتماً از تعداد منابع بیشتر باشد). در این روش که تفاوت بین تعداد سنسورها و تعداد منابع موجود در محیط را نشان می دهد، درجه آزادی است که برای مقاوم سازی جهت یاب نسبت به داشتن خطا در تخمین جهت اولیه منابع مورد استفاده
قرار می گیرد.

همان گونه که قبلاً اشاره گردید، در روش ، می بایست، ابتدا تخمین اولیه از زوایای ورود را محاسبه نموده و بر اساس آن ماتریس انتقال را تهیه نمود. بدین منظور، معمولاً از روش های ناهمبسته برای محاسبه زاویه ورود اولیه استفاده می شود.

در صورتی که ، تعداد منابع باشد و تعداد زوایای تخمین زده شده کمتر از باشد ()، و
هم چنین، ، مقادیر تخمین اولیه باشند، می بایست، زاویه را به تخمین محاسبه شده، اضافه نمود. بر این اساس بر طبق مقاله ، می توان زوایای را به زوایای اولیه، اضافه نمود که در آن، برابر با پهنای باند رایلی بوده و طبق معادله (۲-۹۲)، محاسبه می گردد. در حقیقت، میزان دقت، در محاسبه خروجی این روش، به میزان قابل توجهی، به نحوه محاسبه زوایای اولیه بستگی دارد. در صورتی که تخمین اولیه از مقادیر واقعی بسیار دور باشد، امکان محاسبه زوایای ورود به صورت صحیح، غیر ممکن است. در این پایان نامه، به منظور محاسبه زوایای ورود به شکل همبسته از الگوریتم ، استفاده خواهد گردید، که بدون نیاز به محاسبه زوایای اولیه، ماتریس انتقال را محاسبه می نماید. در ادامه به بررسی این روش پرداخته خواهد شد.

۵-۲-۱-۳- ماتریس زیرفضای کانونی سیگنال (^[۱۱۳])

در این بخش، به تشریح نحوه محاسبه الگوریتم ، پرداخته خواهد شد.. اساس کار این روش، بر مبنای انتقال زیرفضای سیگنال مربوط به ماتریس چگالی طیف توان به زیرفضای سیگنال می باشد، که این انتقال، توسط ماتریس کانونی، با توجه به شرایط زیر صورت می پذیرد.

(۵-۱۲)

که در معادله فوق، و به صورت زیر قابل تعریف است:

(۵-۱۳)

(۵-۱۴)

و بردارهای و برابر با بردارهای ویژه متناظر با مقدار ویژه اولیه (به ترتیب نزولی)
ماتریس های و است. همان گونه که قبلاً اشاره گردید ، یک ماتریس کانونی (انتقال) مناسب، می بایست یک ماتریس یکانی^[۱۱۴] باشد. بنابراین، ماتریس ، می بایست یک ماتریس یکانی بوده و در شرایط زیر صدق نماید.

(۵-۱۵)

(۵-۱۶)

همان گونه گه قبلاً نشان داده شده است، جواب معادله فوق، به صورت زیر حاصل می گردد:

(۵-۱۷)

که و ، به ترتیب، بردارهای منفی چپ و راست ماتریس می باشند. با ضرب معادله (۵-۱۵) در ، خروجی آرایه به شکل زیر حاصل می گردد:

(۵-۱۸)

به منظور محاسبه ماتریس ، همان گونه که می دانیم، در صورتی که منابع از یکدیگر مستقل باشند، خواهیم داشت:

(۵-۱۹)

با توجه به روابط بالا، می توان را به شکل زیر تعریف نمود:

(۵- ۲۰)

(۵- ۲۱)

که یک ماتریس ، با مرتبه می باشد ( ). هم چنین بردارهای ستونی ماتریس را به شکل زیر تعریف می نماییم:

(۵-۲۲)

که ، مقادیر ویژه ماتریس چگالی طیف توان سیگنال دریافتی می باشد که به صورت نزولی مرتب گردیده است.

۵-۲-۱-۳-۱- الگوریتم محاسبه روش

1. محاسبه از داده های ورودی با گرفتن (بانک فیلتر FFT)
2. محاسبه ماتریس از روی
3. محاسبه و با تجزیه به بردارها و مقادیر ویژه و بر اساس معادلات شماره (۵- ۲۰) و (۵- ۲۱)
4. محاسبه فرمول (۵-۱۷) با بهره گرفتن از بردارهای منفرد چپ و راست ماتریس
5. محاسبه بر اساس فرمول (۵- ۱۸)
6. محاسبه ماتریس چگالی طیف توان به صورت

۵-۲-۱-۳-۲-نکات مهم در محاسبه تخمین به روش

همان گونه که در بالا مطرح گردید، در روش ، می بایست ماتریس به بردارهای ویژه و
مقادیر ویژه تجزیه گردد. به منظور کاهش میزان محاسبات در این روش و ساده تر شدن مراحل محاسبه زیرفضای سیگنال، می توان از روش ارائه شده در مقاله ، یعنی به کارگیری تصویر ماتریس زیرفضا^[۱۱۵] استفاده نمود. در حقیقت، به جای استفاده از بردار ویژه ماتریس (متناظر با مقدار ویژه بزرگ تر ماتریس) با بهره گرفتن از روش ، به تولید بردار ویژه متعامد بر یکدیگر، اقدام خواهیم نمود. بنابراین تصویر زیرفضای متعامد سیگنال را با ماتریس ، به شکل زیر نمایش می دهیم:

(۵- ۲۳)

که ، بردارهای متعامد در زیرفضای سیگنال می باشند که از روش گرام – اشمیت به دست آمده اند. به منظور تولید بردارهای ، به روش گرام – اشمیت به شکل زیر عمل
می نماییم:

1. محاسبه بر اساس فرمول (۵-۱۳) و با تجزیه

محاسبه ، که ، انرژی سیگنال می باشد و برابر است با

1. محاسبه و و

به طور کلی برای محاسبه امین بردار متعامد در زیرفضای سیگنال از روابط زیر استفاده می شود:

(۵- ۲۴)

(۵- ۲۵)

(۵- ۲۶)

(۵- ۲۷)

۵-۳- مدل سازی داده ها

در این قسمت، مفروضاتی را که در فصل های گذشته به آن اشاره گردید و بر مبنای آن این پایان نامه تدوین شده را بررسی نموده و نکات عملی در اجرای شبیه سازی را بیان می نماییم.

۵-۳-۱- خصوصیات منبع سیگنال ارسالی

فرض بر این است که سیگنال های ارسالی شامل D منبع معلوم (تعداد منابع مشخص است) می باشد و یا به صورت صحیح تخمین زده است. همچنین منابع از یکدیگر مستقل هستند. به منظور شبیه سازی و تولید داده ها، از یک فرایند گوسی مختلط با میانگین صفر و توان واحد در نظر گرفته شده است. پهنای باند سیگنال ارسالی در بازه فرکانسی MHZ 80 تا MHZ 120 تعریف گردیده است. هم چنین طبق مفروضات قبلی، کلیه منابع سیگنال و نویز از یکدیگر مستقل می باشند.

با توجه به مقاله ، تعداد بین های فرکانسی و تعداد لحظات مشاهده شده برابر با ۱۰۰ (SnapShot=100)در نظر گرفته شده است. بایستی توجه نمود که طبق مرجع به منظور این که در هر بین فرکانسی رابطه(۵- ۲۸) برقرار باشد، می بایست پهنای باند نسبی از رابطه زیر محاسبه گردد:

(۵- ۲۸)

که ، پهنای باند هر بین فرکانسی و فرکانس مرکزی آن بین می باشد. با توجه به این که پهنای باند سیگنال استفاده شده در این پایان نامه برای شبیه سازی برابر با MHZ 40 می باشد، با بهره گرفتن از فرمول (۵- ۲۸) تعداد بین های فرکانسی حاصل می گردد.

۵-۳-۲- مفروضات داده های دریافتی توسط آرایه آنتن

فرض می کنیم، که فاصله بین سنسورهای آرایه برابر با است که λ طول موج مربوط به فرکانس
MHZ 100(فرکانس میانی ) بوده و هیچ گونه تزویجی بین سنسورها وجود ندارد و نویز دریافتی از هر سنسور، مستقل از هم می باشند. هم چنین با فرض دور بودن منابع ارسالی سیگنال از آنتن آرایه ای، موج سیگنال دریافتی به صورت صفحه در نظر گرفته شده است که در واقع زاویه مشاهده موج سیگنال ارسالی توسط کلیه سنسورها، یکسان می باشد.

به طور خلاصه، شرایط شبیه سازی در جدول زیر خلاصه می گردد:

جدول شماره (۵-۱)– مبنای شبیه سازی

تعداد سنسورها ()	فرکانس پایین ()	فرکانس بالا ()	فرکانس مرکزی ()	تعداد بین های فرکانسی ()	تعداد منابع ()
۱۶	MHZ80	MHZ120	MHZ100	۱۲۸	۴

•  

1. ۵-۴- سناریوهای شبیه سازی شده

همان گونه که در ابتدای فصل اشاره گردید، به منظور بررسی پارامترهای تاثیرگذار بر روی الگوریتم های جهت یابی، چندین سناریو به شرح زیر بیان گردیده و خروجی آن ها به منظور مشخص شدن تاثیرات پارامترهای اشاره شده مورد بررسی قرار می گیرد.

۵-۴-۱- سناریوی شماره ۱

در این سناریو، چهار سیگنال یک بار با زاویه های و و بار دوم با زاویه های ، و با فرکانس پایین ، فرکانس بالای و پهنای باند MHZ40 ارسال و خروجی آن ها به وسیله الگوریتم های MUSIC، Capon (Geometric, Arithmetic, Harmonic)، WAVES، (SSF)CSSM شبیه سازی می گردد. خلاصه اطلاعات شبیه سازی شده در جدول شماره (۵-۲) نشان داده شده است.

جدول شماره (۵-۲) – خلاصه اطلاعات شبیه سازی در سناریوی اول

انواع حالات	زوایای ورود	SNR
حالت اول	۶۵ و ۳۵و۳۰و۱۰	۱۰ و ۲
حالت دوم	۶۵ و ۳۳و۳۰و۱۰	۲۰ و ۵و ۲

حالت اول – خروجی شبیه سازی در این حالت توسط شکل های شماره (۵-۱) تا (۵-۶) برای
و شکل های شماره (۵-۷) تا (۵-۱۲) به ازای نشان داده شده است.همان گونه که مشاهده می گردد، در های پایین، الگوریتم MUSIC و WAVES و SSF به طور دقیق، منابع در زاویه ۳۵ درجه را تشخیص می دهند. این در حالیست که در روش Capon، به این دلیل که برای محاسبه از Capon Rank 1 استفاده گردیده است، خروجی در در زاویه ۳۵ درجه دارای خطا می باشد. مطابق مطالب بیان شده در فصل ۳، میزان خطا در روش Arithmetic نسبت به
روش های Geometric و Harmonic بیشتر است. هم چنین روش Capon – Geometric، خروجی دقیق تری نسبت به دو روش Capon-Arithmetic و Capon-Harmonic تولید می نماید.

شکل (۵- ۱) – خروجی الگوریتم MUSIC در و زوایای

شکل (۵- ۲) – خروجی الگوریتم SSF در و زوایای

شکل (۵-۳ ) - خروجی الگوریتم WAVES در و زوایای

حالت دوم – در این حالت، مطابق جدول شماره (۵-۲)، منابع ارسال سیگنال را ثابت نگه داشته و منبع چهارم که در زاویه ۳۵ درجه می باشد را با زاویه ۳۳ درجه ارسال می نماییم. خروجی شبیه سازی در حالت مذکور در شکل های شماره (۵-۱۳) تا (۵-۱۸) برای ، شکل های شماره (۵-۱۹) تا
(۵-۲۴) برای و شکل های شماره (۵-۲۵) تا (۵-۳۰) برای ترسیم گردیده است.

با مقایسه شکل ها در ۲ حالت اول و دوم، نتایج ذیل حاصل می گردد:

شکل (۵- ۴) – خروجی الگوریتم Capon Arithmetic در و زوایای

شکل (۵- ۵) – خروجی الگوریتم Capon Harmonic در و زوایای

شکل (۵- ۶) – خروجی الگوریتم Capon Geometric در و زوایای

شکل (۵- ۷) – خروجی الگوریتم MUSIC در و زوایای

شکل (۵- ۸) – خروجی الگوریتم SSF در و زوایای

شکل (۵- ۹) – خروجی الگوریتم WAVES در و زوایای

شکل (۵- ۱۰) – خروجی الگوریتمCapon Arithmetic در و زوایای

شکل (۵- ۱۱) – خروجی الگوریتمCapon Harmonic در و زوایای

شکل (۵- ۱۲) – خروجی الگوریتمCapon Geometric در و زوایای

حالت دوم: در این حالت، مطابق جدول شماره (۵-۲)، منابع ارسال سیگنال را ثابت نگه داشته و منابع چهارم که در زاویه ۳۵ درجه می باشد را با زاویه ۳۳ درجه ارسال می نماییم و خروجی در شکل های شماره (۵-۱۳) تا (۵-۱۸) برای ، در شکل های شماره (۵-۱۹) تا (۵-۲۴) برای و در شکل های شماره (۵-۲۵) تا (۵-۳۰) برای ترسیم گردیده است.

شکل (۵- ۱۳) – خروجی الگوریتم MUSICدر و زوایای

شکل (۵- ۱۴) – خروجی الگوریتم SSFدر و زوایای

شکل (۵- ۱۵) – خروجی الگوریتم WAVESدر و زوایای

شکل (۵- ۱۶) – خروجی الگوریتم Capon Arithmeticدر و زوایای

شکل (۵- ۱۷) – خروجی الگوریتم Capon Harmonic و زوایای

شکل (۵- ۱۸) – خروجی الگوریتم Capon Geometric و زوایای

شکل (۵- ۱۹) – خروجی الگوریتم MUSIC برای و زوایای

شکل (۵- ۲۰) – خروجی الگوریتم WAVES برای و زوایای

شکل (۵- ۲۱) – خروجی الگوریتم Capon Arithmetic برای و زوایای

شکل (۵- ۲۲) – خروجی الگوریتم Capon Harmonic برای و زوایای

شکل (۵- ۲۳) – خروجی الگوریتم Capon Geometric برای و زوایای

شکل (۵- ۲۴) – خروجی الگوریتم MUSIC برای و زوایای

شکل (۵- ۲۵) – خروجی الگوریتم SSF برای و زوایای

شکل (۵- ۲۶) – خروجی الگوریتم WAVES برای و زوایای

شکل (۵- ۲۷) – خروجی الگوریتم Capon Arthimetic برای و زوایای

شکل (۵- ۲۸) – خروجی الگوریتم Capon Harmonic برای و زوایای

شکل (۵- ۲۹) – خروجی الگوریتمCapon Geometrics برای و زوایای

۵-۴-۲- سناریو ۲

در این قسمت به مقایسه الگوریتم‌های معرفی شده در شرایط مختلف SNR، زاویه‌های مختلف ورود سیگنال به آرایه پرداخته و معایب و مزایای هر الگوریتم را بررسی می‌نمائیم. بدین منظور با شبیه سازی سه سیگنال که دو تای آنها به صورت ثابت درزاویه ۳و۱۰= قرار داشته و سیگنال سوم از زاویه ^۰۲۶ تا ^۰۳۹ تغییر داده و به ازای SNR های مختلف خروجی الگوریتم بیان شده را بررسی می‌نمائیم در این سناریو تعداد آرایه‌ها برابر ۱۰ و در ابتدا تعداد بین های فرکانسی را برابر با ۱۲۸و تعداد لحظات مشاهده^[۱۱۶] را برابر ۱۲۸ در نظر خواهیم گرفت خروجی‌های مستند سازی در حالت‌های مختلف اشکال ۳۹-۵ تا ۵-۴۳ نمایش داده شده است.

شکل (۵-۳۰) مقایسه ۵ الگوریتم مطرح شده به ازای سیگنال دریافتی در زاویه ۱۰^۰ ، ۳۳^۰، ۳۶^۰ به ازای تعداد لحظات مشاهده ۱۲۸ و تعداد بین فرکانسی ۱۲۸ (محاسبه RMS خطا بر مبنای SNR های متفاوت)

شکل (۵-۳۱)محاسبه میزان خطا به ازای سیگنال دریافتی در زاویه ۱۰^۰ ، ۳۳^۰، ۳۷^۰ به ازای تعداد لحظات مشاهده ۱۲۸ و تعداد بین فرکانسی ۱۲۸ (محاسبه RMS خطا بر مبنای SNR های متفاوت)

شکل (۵-۳۲) مقایسه الگوریتم مطرح شده به ازای سیگنال دریافتی در زاویه ۱۰^۰ ، ۳۳^۰، ۳۸^۰ به ازای تعداد لحظات مشاهده ۱۲۸ و تعداد بین فرکانسی ۱۲۸ (محاسبه RMS1 خطا بر مبنای SNR های متفاوت)

شکل (۵-۳۳) مقایسه الگوریتم مطرح شده به ازای سیگنال دریافتی در زاویه ۱۰^۰ ، ۳۳^۰، ۳۹^۰ به ازای تعداد لحظات مشاهده ۱۲۸ و تعداد بین فرکانسی ۱۲۸ (محاسبه RMS1 خطا بر مبنای SNR های متفاوت)

به طور کلی چند قاعده کلی را می‌توان در خروجی شبیه سازی مشاهده نموده به ازای SNR های بالاتر از db18 کلیه روش‌ها جواب بسیار دقیقی ارائه می‌دهند که با توجه به حجم محاسبات کمتر روش میوزیک^[۱۱۷] می‌توان با محاسبات کمتر به نتیجه مورد نظر دست یافت.

ولی در SNR کمتر از db8 روش‌های کاپون^[۱۱۸] و میوزیک اصلاً قادر به شناسایی سیگنال‌هائی که با اختلاف زاویه کمتر از ۵ وارد می‌شوند نبوده و در واقع در بازده SNR های کمتر از db4 روش ویو^[۱۱۹] با خطای کمتری(RMS ERROR) خروجی را ارائه می کند(مطابق شکل‌های ۵-۳۰ الی ۵-۳۳). روش TOPS در SNR های بین db4 الی db12 خروجی با خطای کمتری(RMS ERROR) نسبت به سایر الگوریتم‌ها داشته ولی به ازای SNR‌های کمتر از db3 به شدت میزان خطای این روش افزایش می یابد و الگوریتم ویو با خطای کمتری قادر به شناسائی زاویه ورود سیگنال می‌باشد.

همان گونه که در شکل ۵-۳۰ مشاهده می‌گردد هنگامی که سیگنال سوم با زاویه ^۰۳۶ ارسال می‌گردد(اختلاف زاویه دو سیگنال دریافتی کمتر از ^۰۳) الگوریتم‌های capon و SSFوMUSIC قادر به تشخیص زاویه ورود آن نبوده ولی به ازای SNR های بالاتر از dB12 در الگوریتم میوزیک خطا به شدت کاهش می‌یابد.

در SNR های بین db12 تا db4 کمترین میزان خطا (RMS) توسط الگوریتم TOPS حاصل می‌گردد و پس از آن الگوریتم ویو دارای خطای کمتری می‌باشد. در SNR های کمتر از db5 الگوریتم ویو خروجی بهتری را ارائه می کند در صورتی که زاویه ورود سیگنال به ^۰۳۵ کاهش ‌نماید در واقع اگراختلاف زاویه ورود سیگنال ها کمتر از ^۰۳ گردد عملاً هیچ کدام از روش‌‌ها قادر به ارائه تخمین دقیقی از زاویه ورود نمی باشند. ولی در اختلاف زاویه‌های بین ^۰۳ تا ^۰۵ با SNR<3^db روش ویو تقریباً بهترین خروجی را ارائه می نماید ودر SNRهای بالاتر از db4 روش WAVE,TOPو پس از آن الگوریتم MUSIC دارای حداقل خطا بوده و در SNR های بالاتر از db12 روش SSF و SNR بالاتر از db16 الگوریتم کاپون نیز قادر به شناسائی زاویه سیگنال ها می‌باشد. با توجه به حجم محاسبات بسیار بالای روش TOPS در واقع استفاده از این الگوریتم به ازای SNR های بین dB4 تا dB12 مقرون به صرفه می باشد.در SNRهای بالاتر ازdB 12 با توجه به حجم کم محاسباتی روش MUSIC و خروجی دقیق آن استفاده از این روش بنظر مناسب تر می باشد وخطای آشکارسازی به صفر هم گرا می‌گردد. درکابردهای با SNRهای پائین تر ازdB 12 روش‌های همبسته خروجی قابل قبول‌تری را ارائه می‌دهد.

در شکل‌های ۵-۳۴ الی ۵-۳۰ با تغییر زاویه ورود سیگنال سوم از ۳۷ الی ^۰۳۹ میزان خطای هر الگوریتم به ازای SNR متفاوت نشان داده شده است هم چنین در شکل‌های ۵-۳۵ الی ۵-۳۸ با تغییر تعداد بین فرکانسی و تعداد لحظات مشاهده خروجی الگوریتم‌ها نمایش داده شده است. با توجه به پیش فرض‌های صورت گرفته در شبیه سازی الگوریتم‌های ارائه شده برای سیگنال‌های پهن باند می توان به عوامل مؤثر زیر اشاره نمود.

۱- استفاده از فیلتر بانک FFT به منظور تبدیل سیگنال پهن باند به مجموعه‌ای از سیگنال های باند باریک. کدر صورت کاهش تعداد بین‌های فرکانسی، تخمین سیگنال به صورت باند باریک دارای خطای بسیار زیادی می‌باشد.

۲- بروز Leakage, Aliasing و Picket Fence Effect

با فرض fs فرکانس نمونه‌برداری از سیگنال دریافتی، فاصله‌ بین دو نمونه متوالی و N‌ برابر با تعداد نمونه‌های هر Snapshot و T مدت زمان یک Snapshot و T₀ مدت زمان کل مشاهده، روابط زیر هموار برقرار می‌باشد:

(۵-۱)

(۵-۲)

(۵-۳)

که fs فرکانس نمونه‌برداری(برای جلوگیری از Aliasing حداقل دو برابرپهنای باند سیگنال )، T₀‌کل مدت زمان شاهد، K* N کل نمونه‌های مشاهده شده، N تعداد سمپل‌های هر Snapshot می باشد که در واقع تعداد بین‌های فرکانسی را مشخص می کند. (معادل طول FFT می‌باشد) و K برابر با تعداد لحظات مشاهده تعریف می‌گردد.

با توجه به رابطه (۵-۳) و موارد مطرح شده در بالا در صورتی با افزایش فرکانس نمونه‌برداری F_s، حداکثر فرکانس قابل شناسائی F_s/2، رزولوشن در حوزه زمان افزایش و در حوزه فرکانس کاهش می‌یابد. با افزایش با توجه به رابطه ۵-۱(فاصله بین نمونه های فرکانسی) افزایش یافته و در واقع fs کاهش پیدا می‌کند ولی با افزایش N در صورت ثابت بودن کل زمان مشاهده ‌ با توجه به رابطه ۵-۳ می‌بایست تعداد لحظات مشاهده را کاهش دهیم که خود باعث افزایش اثرات Picket Effect می‌گردد، پس در واقع نحوه تغییر تعداد بین‌های فرکانسی و تعداد Snapshot ها بر مبنای شرایط اعمالی بر روی پارامترهای تاثیرات متفاوتی بر خروجی بانک فیلتر می‌گذارد. الگوریتم های همبسته نسبت به تغییر تعداد بین های فرکانسی بسیار حساس بوده و کاهش تعداد بین‌های فرکانسی بر روی میوزیک کمتر از روش‌های همبسته باعث افزایش میزان خطا در شناسایی سیگنال‌های با اختلاف زاویه کوچک می‌گردد. اما با توجه شکل‌های ۵-۳۹ الی ۵-۴۳ تغییر تعداد بین های فرکانسی تاثیر مشخصی بر روی الگوریتم TOPS قرار نمی‌دهد. با توجه به اینکه در این روش بر خلاف روش میوزیک، زیر فضاهای سیگنال در هر بین فرکانسی به یک فرکانس مرجع انتقال می‌یابد ( بر خلاف روش‌های همبسته که با بهره گرفتن از ماتریس کانونی زیر فضا‌های سیگنال به فرکانس‌ مرجع منتقل می گردد.) تغییر تعداد بین‌های فرکانسی تاثیر بخصوصی در خروجی ایجاد نمی نماید. به طور کلی افزایش نمودار بین های فرکانسی در صورتی که شرایط مفروض برای استفاده از روش‌های باند باریک تحقق یابد تغییر آن خیالی برروی خروجی الگوریتم نمی‌گذارد در واقع افزایش بین‌های فرکانسی در صورت ثابت بودن تعداد snapshot ها معادل کاهش و افزایش رزولوشن می‌باشد که تاثیر زیادی در خروجی الگوریتم‌های جهت یابی نخواهد داشت ولی به منظور ایجاد این افزایش می‌یابست (با فرض K ثابت) با فرکانس نمونه‌برداری افزایش دهیم و یا مدت زمان مشاهده و ثبت اطلاعات افزایش یابد که در اکثر موارد کاربری هزینه بسیار بالائی ارد ولی در صورت کاهش تعداد snapshot ها میزان تغییرات Picket, Fence, heakage به شدت افزایش می‌یابد و در واقع تاثیر کاهش تعداد Snapshot ها برای الگوریتم های جهت یابی مطابق شکل‌های ۵-۳۹ تا ۵-۴۳ نشان داده شده است همان گونه که انتظار می‌رود در SNR ها پائین در اختلاف زاویه کم سیگنال، افزایش تعداد Snapshot ها می‌تواند باعث کاهش میزان RMS خطا گردد. به منظور کاهش میزان خطا در SNR های پایین و یا به علت تعداد کم Snapshot ها می‌توان با بهره گرفتن از روش windowing در بانک فیلتر FFT علاوه بر اینکه اثرات Leakageکاهش می یابد.انجام این فرایند به گونه‌ای معادل افزایش تعداد Snapshotها می‌باشد.

شکل (۵-۳۴) مقایسه الگوریتم مطرح شده به ازای سیگنال دریافتی در زاویه ۱۰^۰ ، ۳۳^۰، ۳۴^۰ به ازای تعداد لحظات مشاهده ۱۰۰ و تعداد بین فرکانسی ۴ (محاسبه RMS1 خطا بر مبنای SNR های متفاوت)

شکل (۵-۳۵) مقایسه الگوریتم مطرح شده به ازای سیگنال دریافتی در زاویه ۱۰^۰ ، ۳۳^۰، ۳۷^۰ به ازای تعداد لحظات مشاهده ۱۰۲۴ و تعداد بین فرکانسی ۱۶ (محاسبه RMS1 خطا بر مبنای SNR های متفاوت)

شکل (۵-۳۶) مقایسه الگوریتم مطرح شده به ازای سیگنال دریافتی در زاویه ۱۰^۰ ، ۳۳^۰، ۳۸^۰ به ازای تعداد لحظات مشاهده ۱۰۰ و تعداد بین فرکانسی ۸ (محاسبه RMS1 خطا بر مبنای SNR های متفاوت)

شکل (۵-۳۷) مقایسه الگوریتم مطرح شده به ازای سیگنال دریافتی در زاویه ۱۰^۰ ، ۳۳^۰، ۳۸^۰ به ازای تعداد لحظات مشاهده ۱۰۰ و تعداد بین فرکانسی ۱۶ (محاسبه RMS1 خطا بر مبنای SNR های متفاوت)

شکل (۵-۳۸) مقایسه الگوریتم مطرح شده به ازای سیگنال دریافتی در زاویه ۱۰^۰ ، ۳۳^۰، ۳۸^۰ به ازای تعداد لحظات مشاهده ۱۰۰ و تعداد بین فرکانسی ۱۶ (محاسبه RMS1 خطا بر مبنای SNR های متفاوت)

شکل (۳۹-۵) مقایسه الگوریتم‌های متفاوت به ازای دو سیگنال دریافتی در زاویه‌های ۱۰^۰ و ۳۳^۰ و زاویه سیگنال سوم بین مقادیر ۲۷^۰ الی ۳۹^۰ به ازای SNR=2 و تعداد‌ لحظات مشاهده SNAP=128 و تعداد در بین فرکانسSamp=64

شکل (۴۰-۵) مقایسه الگوریتم‌های متفاوت به ازای دو سیگنال دریافتی در زاویه‌های ۱۰^۰ و ۳۳^۰ و زاویه سیگنال سوم بین مقادیر ۲۷^۰ الی ۳۹^۰ به ازای SNR=5 و تعداد ‌لحظات مشاهده SNAP=128 و تعداد در بین فرکانسSamp=64

شکل (۴۱-۵) مقایسه الگوریتم‌های متفاوت به ازای دو سیگنال دریافتی در زاویه‌های ۱۰^۰ و ۳۳^۰ و زاویه سیگنال سوم بین مقادیر ۲۷^۰ الی ۳۹^۰ به ازای SNR=9 و تعداد ‌لحظات مشاهده SNAP=128 و تعداد در بین فرکانسSamp=64

شکل (۴۲-۵) مقایسه الگوریتم‌های متفاوت به ازای دو سیگنال دریافتی در زاویه‌های ۱۰^۰ و ۳۳^۰ و زاویه سیگنال سوم بین مقادیر ۲۷^۰ الی ۳۹^۰ به ازای SNR=14 و تعداد ‌لحظات مشاهده SNAP=128 و تعداد در بین فرکانسSamp=64

شکل (۴۳-۵) مقایسه الگوریتم‌های متفاوت به ازای دو سیگنال دریافتی در زاویه‌های ۱۰^۰ و ۳۳^۰ و زاویه سیگنال سوم بین مقادیر ۲۷^۰ الی ۳۹^۰ به ازای SNR=16 و تعداد ‌لحظات مشاهده SNAP=128 و تعداد در بین فرکانسSamp=64

مطابق اشکال بالا‌ SSF و Capon، بیشترین حساسیت را نسبت به کاهش تعداد لحظات مشاهده داشته و پس از آن الگوریتم Wave و TOPS نسبت به کاهش تعداد Snapshot ها با خطای بیشتری در خروجی مواجه می‌گردند.

در انتها می‌بایست خاطر نشان کرد که در کاربردهای با SNR های بالا و با زوایای تفکیک بیشتر از ^۰۵ استفاده ازالگوریتم های ناهمبسته با حجم محاسبات بسیار کمتر مناسب تر و در صورت کاهش SNR و زاویه تفکیک سیگنال ها، الگوریتم Wave خروجی مناسب‌تری ارائه می‌دهد و به ازای کلیه SNRهای بزرگتر از db3 و زوایای تفکیک کوچک الگوریتم TOPS بهترین خروجی را ارائه می کند ولی در عوض حجم محاسبات لازم را به شدت افزایش می‌دهد.

در حقیقت، SNR سیگنال دریافتی و تفکیک زاویه ورود سیگنال ها به آرایه آنتن، دو پارامتر بسیار مهم در میزان کارایی جهت یابی هر الگوریتم، محسوب می گردد. در SNRهای بسیار پایین، روش WAVEجواب بهتری را نسبت به روش های دیگر ارائه می دهد. در SNRهای بالاتر از ، کلیه روش ها، خروجی تقریباً یکسانی خواهند داشت. هم چنین، زمانی که اختلاف زاویه ورود دو منبع در حدود باشد، در ، هیچکدام از الگوریتم ها، قادر به تفکیک دو منبع نیستند (مطابق شکل های شماره (۵-۲۵) تا (۵-۳۰) الگوریتم های MUSIC، Capon و CSM، زاویه ورود، تقریباً درجه شناسایی می گردد. اما در روش WAVES، زاویه ورود به درستی و برابر با ۳۰ درجه شناسایی می گردد و در زوایه ۳۳ درجه با وجود این که منبعی را شناسایی نمی نماید، مطابق شکل (۵-۳۰)، اختلاف شیب شدیدی در اطراف زاویه ۳۳ درجه وجود دارد. در حقیقت، در SNR پایین و اختلاف زاویه ورود کم، روش WAVES بهترین خروجی با حداقل خطا را ارائه می نماید و پس از آن، روش MUSIC، از کمترین میزان خطا برخوردار است. اما در SNRهای پایین، در صورتی که اختلاف زاویه ورود دو سیگنال بزرگتر یا مساوی ۵ درجه باشد ()، روش MUSIC، بهترین خروجی را ارائه نموده و با دقت بسیار زیاد می تواند زاویه ورود سیگنال را تخمین بزند.

با توجه به این که در الگوریتم کاپون، از تخمین Capon Rank 1 استفاده گردیده است، خروجی این روش در SNRهای پایین و یا اختلاف کم زاویه ورود سیگنال ها، دچار خطا می گردد. شایان ذکر است که در SNRهای کم، میزان خطا در زاویه ورود افزایش می یابد و با کاهش زاویه ورود سیگنال ها (نزدیک شدن سیگنال ها به هم)، تعداد منابع که توسط الگوریتم Capon شناسایی می گردد، کاهش یافته و قادر به شناسایی صحیح تعداد منابع ارسال سیگنال نخواهد بود. همان گونه که پیش تر در فصل سوم بررسی و اشاره گردید،روش Capon، با الگوریتم Geometric، در مقایسه با دو روش Arithmetic و Harmonic، از خروجی بسیار مناسب تری برخوردار است.

فصل ششم

نتیجه‌گیری و پیشنهادات

۶-۱- نتیجه‌گیری

در این پایان نامه الگوریتم‌های مختلف جهت‌یابی سیگنالهای پهن باند که بر مبنای استفاده از فیلتر بانک در ورودی آنتنهای آرایه‌ای طراحی شده است را مورد بررسی قرار داده‌ایم.

به طور کلی الگوریتم‌های جهت‌یابی بر مبنای سیگنالهای باند باریک معرفی گردیده‌اند بدین منظور سعی شده که با بهره گرفتن از فیلتر بانک ابتدا سیگنال‌های پهن باند را به بین‌های باند باریک تفکیک نموده سپس دو روش کلی تخمین زاویه ورود سیگنال ارائه می‌گردد.

۱- پردازش هر بین فرکانسی بصورت مشعل از بین‌های دیگر (الگوریتم های ناهمبسته) و محاسبه زاویه ورود در هر بین فرکانسی و ترکیب نتایج آن به منظور محاسبه زاویه نهایی. از جمله این الگوریتم‌ها می‌توان به الگوریتم میوزیک، کاپون، اشاره نموده که الگوریتم میوزیک بر مبنای تفکیک زیر فضای سیگنال از زیر فضای نوپر با بهره گرفتن از تابع چگالی خود همبستگی داده‌های تولید شده از آنتن ارائه‌ای در هر بین فرکانسی بصورت مستقل، شروع به تخمین زاویه ورود منابع می کند و سپس با بیانگیری از زوایای تخمین زده شده در بین‌های فرکانسی زاویه ورود را تشخیص می‌دهد در الگوریتم کاپون با بهره گرفتن از روش جهت دهی بین‌های فرکانسی سعی در حداقل نمودن توان سیگنال در جهت‌های نامطلوب نموده سپس زاویه ورود سیگنال را با بهره گرفتن از حداکثر نمودن توان در جهت زاویه رود سیگنال تشخیص دهد و سپس با بهره گرفتن از میانگین گیری سعی در تشخیص زاویه ورود نهائی می‌نماییم. بطور کلی الگوریتم‌های ناهمبسته در SNR های بالا و به ازاء اختلاف زاویه ورود سیگنال‌ها بزرگتر از ۵^۰ خروجی دقیقی را ارائه می‌دهد هم چنین پیاده سازی و اجرای این الگو‌ریتم‌ها دارای حملات بسیار کمی نسبت روش های همبسته می‌باشد که محتاج آن در SNR های متفاوت و زوایای ورود مختلف با بهره گرفتن از شبیه سازی در فصل پنجم معرفی شده.

۲- الگوریتم‌های همبسته که در واقع با ترکیب داده های کلیه بین های فرکانسی سعی در تخمین زاویه ورود و سیگنال می کند بر این مبنا می‌توان به دو الگوریتم بسیار مهم C.S.S.M^[120] و W.A.V.E^[121] اشاره نمود. اسا کار در این الگوریتم‌ها بر مبنای محاسبه زیر فضای سیگنال و تفکیک آن از زیر فضای نویز با بهره گرفتن از محاسبه تابع چگالی خود همبستگی کل سیگنال پهن باند می‌باشد در الگویتم CSSM ابتدا تابع چگالی خود همبستگی در هر بین فرکانسی محاسبه گردیده سپس با تولید یک ماتریس کانونی به ازاء هر بین فرکانسی سعی در انتقال توابع هر بین به یک بین مرجع می‌نمائیم در آخر تابع چگالی خود همبستگی کل سیگنال را با جمع توابع اتصال از یکی الگوریتم‌های باند باریک محاسبه می‌نمائیم از چالشهای مهم این و نیاز به داشتن زاویه وورد سیگنال می‌باشد که خود یک پارامتر مجهول بوده بدین منظور ابتدا می‌بایست با بهره گرفتن از الگوریتم‌های ناهمبسته یک زاویه ورود تقریبی را محاسبه نموده سپس بر اساس این زاویه تخمین زده شده اولیه ماتریس کانونی را تشکیل داده، در صورتی که زوایای ورود اولیه تخمینی اختلاف زیادی با مقادیر واقعی داشته باشد. ( الگوریتم CSSM مرکز همگرا نخواهد شد و زاویه‌ی قادر به تشخیص زاویه ورود سیگنال نخواهد بود ولی در صورت تخمین اولیه مناسب زوایای ورود الگوریتم‌های همبسته در SNR های پائین (SNR<10dB) اختلاف کوچک و زاویای ورود منابع قادر به تشخیص و تفکیک سیگنال‌های ارسالی می‌باشد که با بهره گرفتن از شبیه سازی سعی در پیاده سازی این الگوریتم در فصل پجم کرده‌ایم.

در انتها الگوریتم دیگری که هم دارای خواص الگوریتم‌های همبسته و هم الگوریتم‌های ناهمبسته می‌باشد را ارائه نموده (JOPS) در واقع این الگوریتم بدون نیاز به استفاده از ماتریس کانونی اقدام به انتقال کلیه بین‌های فرکانسی به یک بین مرجع می کند به علت عدم نیاز به محاسبه تخمین زاویه اولین این الگوریتم به ازاء SNR های بزرگتر از ۵dB از بقیه الگوریتم‌های دیگر خروجی بسیار دقیقتری را ارائه می‌دهد ولی از حجم محاسبات بالائی برخوردار می‌باشد.

۶-۲- پیشنهادات

مبنای کار این پایان نامه بر اساس مشخص بودن تعداد منابع هم چنین ایستان بودن و اضطراری و سیگنال نوپر و سیگنال منابع ارسال پایه گذاری شده است و نیز فرض گردیده که کلیه سیگنال‌های دریافتی از منابع مستقل ارسال گردیده و هیچ همبستگی با یکدیگر ندارند. یکی از زمینه‌هائی که برای ارائه کار وجود دارد. تغییرمفروضات مطرح شده در بالا می‌باشد و هم چنین مقایسه میزان دقت هر الگوریتم به ازای فرکانس نمونه برداری متفاوت و تعداد مختلف لحظات مشاهده می تواند باشد.

مراجع

1. Stoica, P., and R. Moses, Spectral Analysis of Signals, Prentice Hall, 2005.
2. Roy, R., and T. Kailath, ‘‘ESPRIT-Estimation of Signal Parameters Via Rotational Invariance Techniques,’’ IEEE Trans. on Signal Processing, Vol. 37, No. 7, July 1989,pp. 984–۹۹۵.
3. Schmidt, R., ‘‘Multiple Emitter Location and Signal Parameter Estimation,’’ IEEE Trans.on Antennas and Propagation, Vol. AP-34, No. 3, March 1986, pp. 276–۲۸۰.
4. Zatman, M., ‘‘How Narrow Is Narrowband?’’ IEE Proc.-Radar, Sonar Navig., Vol. 145, No. 2, April 1998, pp. 85–۹۱.
5. Chandran, S., and M. K. Ibrahim, ‘‘DOA Estimation of Wide-Band Signals Based on Time-Frequency Analysis,’’ IEEE J. of Oceanic Engineering, Vol. 24, No. 1, January 1999, pp. 116–۱۲۱.
6. Wax, M., and T. Kailath, ‘‘Spatio-Temporal Spectral Analysis by Eigen-Structure Methods,’’ IEEE Trans. on Acoustics, Speech, and Signal Processing, Vol. ASSP-32, No. 4, August 1984, pp. 817–۸۲۷.
7. Wang, H., and M. Kaveh, ‘‘Coherent Signal-Subspace Processing for the Detection and Estimation of Angles of Arrival of Multiple Wide-Band Sources,’’ IEEE Trans. on Acoustics, Speech, and Signal Processing, Vol. ASSP-33, August 1985, pp. 823–۸۳۱.
8. Doron, M., and A. Weiss, ‘‘On Focusing Matrices for Wide-Band Array Processing,’’ IEEE Trans. on Signal Processing, Vol. 40, No. 6, June 1992, pp. 1295–۱۳۰۲.
9. Hung, H., and M. Kaveh, ‘‘Focusing Matrices for Coherent Signal-Subspace Processing,’’ IEEE Trans. on Acoustics, Speech, and Signal Processing, Vol. ASSP-36, No. 8, August 1988, pp. 1272–۱۲۸۲
10. S. Lee, ‘‘Efficient Wide-Band Source Localization Using Beamforming Invariance Technique,’’ IEEE Trans. on Signal Processing, Vol. 42, June 1994, pp. 1376–۱۳۸۷.
11. Selleno, “Robust Wideband DOA Estimation,” ۱۳th workshop on Statistical Signal Processing, July 2005, pp. 277-282.
12. J. Zeng, and X. L. Li, “High-Resolution Multiple Wideband and Nonstationary Source Localization With Unknown Number of Sources,” IEEE Trans. on Signal Processing, Vol. 58, June 2010, pp. 3125–۳۱۳۶.
13. Wax, and J. Sheinvald, “Direction Finding of Coherent Signals via Spatial Smoothing for Uniform Circular Arrays”, IEEE Trans.Antannas Propagat., vol. 42, May. 1994, pp. 613-620.
14. Chumchong, K. Ichige, and H. Arai, “Spatial-Smoothing-Like Processing of Array Steering vectors for High Resolution DOA Estimation,”Proceeding of the 6^th European Radar Conference, OCT. 2009. pp. 421–۴۲۴.
15. Q. Jun, W. Y. Liang, and Z. Y. Shun, “An Adaptive Weighted Spatial Smoothing Algorithm Utilizing Virtual Beamforming,” IEEE International Radar Conference, May 2005.
16. Yoon, Y.-S., ‘‘Direction-of-Arrival Estimation for Wideband Sources Using Sensor Arrays,’’ Ph.D. thesis, Georgia Institute of Technology, Atlanta, GA,
17. , ‘‘Focussing Matrices for Coherent Signal-SubspaceProcessing, ‘‘ STUDENT MEMBER IEEE, IEEE TRANSACTIONS ON ACOUSTICS,SPEECH. AND SIGNAL PROCESSING.VOL.36.NO.X. AUGUST 1988.
18. Miriam A. Doron and Anthony J. Weiss, Senior Member, IEEE ‘‘On Focusing Matrices for Wide-Band Array Processing‘‘IEEE TRANSACTIONS ON SIGNAL PROCESSING, VOL. 40. NO. 6, JUNE 1992
19. SANDEEP SANTOSH, O.P.SAHU, MONIKA AGGARWAL Senior Lecturer, Department of Electronics and Communication Engineering ‘‘An Overview of Different Wideband Direction of Arrival(DOA) Estimation methods”
20. Dehghani,Mahmud Reza.,2005 “Presented in Partial Fulfillment of the Reqirements for the Degree of Master of Applied Science(Electrical Engineering) at Concordia University , Monttreal, Quebec,Canada.
21. WANG, STUDENT MEMBER, IEEE, AND M. KAVEH, SENIOR MEMBER, IEEE,".Coherent Signal-Subspace Processing for the Detection and Estimation of Angles of Arrival sf Multiple Wide-Band Sources. IEEE TRANSACTIONS ON ACOUSTICS, SPEECH, AND SIGNAL PROCESSING, VOL. ASSP-33, NO. 4, AUGUST 1985.
22. Nicholas Roseveare"WIDEBAND DIRECTION-OF-ARRIVAL ESTIMATION METHODS” ,FOR UNATTENDED ACOUSTIC SENSORS Department of Electrical and Computer Engineering.
23. Vom Fachbereich 18,"Advanced Direction-of-Arrival Estimation and Beamforming Techniques for Multiple Antenna Systems", M¨arz 1980 in Hachenburg, Deutschland.
24. Almquist Gustav, 2005″ High Resolution Direction of Arrival Estimation for Uniform Linear Arrays in Presence of Radar “, Master of Science Thesis.
25. Krishnaraj Varma ,"Time-Delay-Estimate Based Direction-of-Arrival Estimation for Speech in Reverberant Environments".
26. Toygarb_R_NC, JULY 2006″ Optimization of non-uniform planar array geometry for direction of arrival estimation",A Thesis submitted of graduare school of natural and applied sciences of middle east technical university.
27. Valaee ,Shahrokh ,May 1994, “Array Processing for Detection and locatization of Narrowband, Wideband and Distributed Sources". Departmet of Electrical eng Mcgill university,montreal.
28. Viberg and B. Otlerslon, “Sensor Processing Based on Subspace Fitting”, IEEE Trans. Signal Processing, Vol 39, No 5, PP. 1110-1121, May 1991.
29. A Carlzow, “Direction of Arrival Estimation Using Signal Subspace Modelling”, IEEE Trans, om Aerospace and Electronic Systems, Vol, 28, No, 1, Jan. 1992.
30. Bienvenu and L – Kopp, “Optimality of high Resolution Array Processing using the Eigensystem Approach”, IEEE Trans Acoust, Speech, Signal Procssing, Vol, 31, pp. 1235-1248, 1983.
31. O. Schmidt, “Multiple Emitter Location and Signal Parameter Estimation”, IEEE Trans – on Antenna and Prop, Vol, 34, pp. 276-280, Mar, 1986.
32. A. Cadzow, “A High Resolution Direction of Arrival Algorithm for Narrowband Coherent and Incoherent Sources”, IEEE Trans . Acoust., Speech, Signal Processing, Vol. ASSP-36, PP. 965-979, Jul. 1988.
33. capon, “High – resolution Frequency – wavenumber Spectrum Analysis”, Proc. IEEE, Vol. 57, pp. 1408-1418, Aug. 1969.
34. M. Buckley and L.J. Griffiths, “An Adaptive Generalized Sidelobe Canceller with Derivative Constraints”, IEEE, Trans . on Antennas and Propagation, Vol. App – ۳۴, No. 3, pp. 3111-316, 1986.
35. L. frost, “An Algorithm for Linearly Constrained Adaptive Array Proccecing”, Proc. Of the IEEE, Vol. 60, No, 8, pp. 926-935, Aug. 1972.
36. D Van Veen and K.M. Buckley, “Beamforming: A Versatile Approach to Spatial Filtering”, IEEE ASSP Magazine, pp. 4-24, Apr. 1988.
37. Haykin, editor, Array Signal Processing, Prentice – Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1985.
38. U. Pillai, Array Signal Processing. Springer – Verlag, 1989.
39. Krim and J.G Cozzens, “Detection and Parameter Estimation of Correlated Signals in Noise”, Ph.D. thesis, Northeastern Univ., Jun. 1991.
40. Viberg and B. Ottersten, “Sensor Array Processing Based on Subspace Fitting” IEEE Trans. Signal Processig Vol. 39, No. 5. Pp. 1110-1121, May 1991.
41. A. Cadzow, “Direction of Arrival Estimation Using Signal Subspace Modeling”, IEEE Trans. On Aeropsace and Electronic Systems, Vol. 28, No. 1, Jan. 1992.
42. Test of Orthogonality of Projected Subspaces ↑
43. Test of Orthogonality of Projected Subspaces ↑
44. Propagating Scalar Field ↑
45. Monochromatic plane wave ↑
46. Slowness Vector ↑
47. Fraunhofer ↑
48. Stationarity ↑
49. Temporally ↑
50. Un Correlated ↑
51. Un correlated in time ↑
52. Time-space Transformation ↑
53. Spatiotemporal Signal ↑
54. Wave Number ↑
55. Spatial Frequencies ↑
56. Stochastic Signals ↑
57. Matched-filter ↑
58. Probability Distribution Function ↑
59. Second moment ↑
60. Homogeneous ↑
61. Cross Spectral Density ↑
62. Frequency-wave number spectrum ↑
63. Time-Space ↑
64. Dirac delta ↑
65. Frequency-wave number ↑
66. Wide band point sources ↑
67. Spatially distributed ↑
68. Non-overlapping frequency ↑
69. Spatial Filter ↑
70. Conventional Beam Former ↑
71. Bartlett ↑
72. Coherent ↑
73. Minimum Variance ↑
74. Steering Vector ↑
75. Positive definite ↑
76. Null Space ↑
77. Orthogonality ↑
78. Property ↑
79. Multiple Signal Classification Method ↑
80. Steering Matrix ↑
81. Orthogonality ↑
82. Multiple Signal Classification Method ↑
83. Non-singular matrix ↑
84. Multiple Signal Classification Method ↑
85. High Resolution ↑
86. Array Calibration ↑
87. Polarization ↑
88. Overlap ↑
89. Wave fronts ↑
90. Stationary Random Processes ↑
91. Deterministic ↑
92. Nonsingular ↑
93. Estimation of Signal Parameters Rotational Invariance Technique ↑
94. Doublet ↑
95. Real Time ↑
96. Gain ↑
97. Spatial aliasing ↑
98. Spatial aliasing ↑
99. Wavefileld ↑
100. Spatial aliasing ↑
101. Continuous Aperture ↑
102. Rayleigh Criterion ↑
103. Uniform Linear Array ↑
104. Hermition (conjugate transpose) ↑
105. Non Coherent ↑
106. Wideband ↑
107. Coherent ↑
108. Incoherent ↑
109. Reference ↑
110. Focusing matrix ↑
111. Manifolds ↑
112. Wideband Capon beamformer ↑
113. Singular Value Decomposition ↑
114. Sidelobes ↑
115. Arithmetic Averaging ↑
116. Geometric Averaging ↑
117. Harmonic Averaging ↑
118. Wideband Music Algorithm ↑
119. Moore-Penrose pseudo-inverse ↑
120. Weighted Subspace Fitting(WSF) ↑
121. Frobenius norm ↑
122. Least Squares ↑
123. Subspace fit ↑
124. Real Time ↑
125. Modified Variable Projection ↑
126. Hessian ↑
127. Modified Variable Projection ↑
128. Least Squares ↑
129. Hessian ↑
130. Hadamard Product ↑
131. Modified Variable Projection ↑
132. Cost ↑
133. Hessian ↑
134. Alternating projection ↑
135. Wax ↑
136. Ziskind ↑
137. Coherent Signal Subspace Method ↑
138. Rotational Signal Subspaces ↑
139. Singular Value Decomposition ↑
140. Trace ↑
141. Focused WSF ↑
142. Weighted Average of Signal Subspaces ↑
143. Test of Orthogonality of Projected Subspaces ↑
144. Singular ↑
145. Spat aliasing ↑
146. False Alarm ↑
147. Subspace Projection ↑
148. Alising ↑
149. Eglin Value Decompos ↑
150. SnapShots ↑
151. Signal Subspace Transformation matrix ↑
152. Focusing loss ↑
153. Singular vector ↑
154. Signal Subspace Focusing ↑
155. Unitary Matrix ↑
156. Projection Matrix ↑
157. Snapshot ↑
158. Music ↑
159. Capon ↑
160. wave ↑
161. Coherent signal subspace method ↑
162. Weighted average of signal subspace ↑