۵-۷
با این روابط بعضی معیارها را می­توانیم به راحتی بر حسب متغیر­های  ،  و  تبدیل کنیم. برای نمونه معیار­های موهر کلمب،ترسکا و هوک-براون را بر حسب این متغیر­ها می­نویسیم]۳۱[.

( اینجا فقط تکه ای از متن پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

برای درک بیشتر این روابط ابتدا تعدادی از معیار­های گسیختگی را تعریف کرده و در ادامه نحوه تبدیل این معیار­ها را بر حسب متغیر­های تنش تشریح می­کنیم.
۵-۲-۱-معیار دراکر پراگر:
در سال ۱۹۵۲ دراکر و پراگر این معیار را به عنوان تقریبی بر قانون موهر-کلمب را ارائه کردند. در این معیار اثر تنش هیدرواستاتیک بر گسیختگی با افزودن ترمی بر معیار گسیختگی ون میزس ارائه گردید.
۵-۸
ضرایب ثابت متناظر با جنس ماده مورد نظر می­باشند.
این سطح تسلیم مطابق شکل ۵-۱ و ۵-۲ از یک مخروط دایره­ای تشکیل گردیده است. ضرایب ثابت این معیار را با تطبیق این معیار با معیار موهر کلمب می­توان به صورت معادله بدست آورد.

شکل۵-۱-تصویر معیار موهر-کلمب و دراکر-پراگر در فضای تنش­های اصلی

شکل۵-۲-تصویر معیار موهر-کلمب و دراکر-پراگر در صفحه عمود بر محور رویه
۵-۲-۲-تابع تسلیم ترسکا^[۵۲]:
در این معیار تسلیم زمانی آغاز می­گردد که ماکزیمم تنش برشی به مقدار مشخصی برسد. یعنی
۵-۹
.در جایی  تنش­های اصلی می­باشند و  پارامتری تجربی می­باشد که در خیلی موارد وابسته به ضریب سخت شدگی می­باشد. در شکل ۵-۳ معیار گسیختگی در فضای تنش­های اصلی نشان داده شده است که به صورت سیلندری ۶ ضلعی می­باشد. در شکل ۵-۴ نیز تصویر سطح گسیختگی در فضای ۲ بعدی نشان داده شده است.در معادله۵-۱۰ سطح گسیختگی را با جیگزین کردم مقادیر تنش­های اصلی با متغیر­های تنش بدست می­آوریم.
۵-۱۰
۵-۲-۳-تابع ون میزس^[۵۳]:
معیار تسلیم ون میزس بیانگر این مسئله است که تسلیم زمانی اتفاق می­افتد که متغیر تنش دوم یا همان j₂ به مقدار بحرانی k برسد. این معیار برای مواد نرم مانند فلزات کاربردی می­باشد. در این معیار رفتار قبل از تسلیم پلاستیک فرض می­ شود. همانطور که مشخص است این معیار تسلیم مستقل از اولین متغیر تنش می­باشد. اگرچه این معیار ابتدا توسط ماکسول ارائه گردید اما شکل کامل­تر آن توسط ون میزس در سال ۱۹۱۳ ارائه گردید.
فرم ریاضی معیار ون میزس مطابق معادله ۵-۱۰ می­باشد.
۵-۱۱
ضریبی می­باشد که مطابق تنش تسلیم ماده مورد نظر تحت برش خالص می­باشد. تنش تسلیم در حالت برش خالص  برابر تنش تسلیم کششی ماده مورد نظر می­باشد. یعنی
۵-۱۲
برابر با تنش تسلیم کششی می­باشد. با ترکیب معادلات ۵-۱۲ و ۵-۱۱ معیار به فرم معادله ۵-۱۳ در می ­آید.
۵-۱۳
حال با جایگذاری مقدار j₂ از معادله۵-۱۳ فرم نهایی معیار به صورت معادله ۵-۱۴ می­باشد.
۵-۱۴
جایی که  تنش موثر یا تنش تعمیم یافته نامیده می­ شود. معادله ۵-۱۴ رویه تسلیم را به صورت یک استوانه دایره­ای در فضای تنش­های اصلی نشان می­دهد. در شکل ۵-۳ رویه معیار ون میزس را در فضای تنش­های اصلی می­بینیم. سطح گسیختگی معیار ون میز را مطابق شکل ۵-۴ به دو صورت می­ شود نشان داد. در شکل a صفحه حاصل از برخورد رویه و صفحه  می­باشد و دایره­ای به شعاع  می­باشد. در شکل b که رایج­تر است شکل به صورت بیضی است.

شکل۵-۳-تصویر معیار ون میزس وترسکا در فضای تنش­های اصلی

شکل۵-۴-تصویر معیار ون میزس وترسکا در صفحه عمود بر محور رویه(a) ,درصفحه دو بعدی (b)
۵-۲-۴- تابع تسلیم موهر- کلمب^[۵۴]:
این معیار که حالت تعمیم یافته کلمب(۱۷۷۳) می­باشد به صورت زیر است]۲۸[
۵-۱۵
در جایی که  مقدار تنش برشی و  تنش نرمال در صفحه گسیختگی می­باشد  نیز همانطور که در شکل نشان داده شده ­اند به ترتیب مقدار چسبندگی و زاویه اصطکاک داخلی می­باشند.

با بهره گرفتن از دایره موهر نشان داده شده در شکل و با جایگذاری مقادیر  و  در معادله می­توانیم به رابط زیر می­رسیم
۵-۱۶
با کمی ساده سازی معادله ۵-۱۲ می­توانیم آنرا به فرم زیر بنویسیم.
۵-۱۷
معیار موهر-کلمب مانند معیار ترسکا تمامی مولفه­های تنش را در سطح تسلیم شرکت می­دهد. این معیار در فضای تنش­های اصلی مخروط می­باشد و از برخورد این رویه با هر صفحه عمود بر محور آن، شش­ضلعی منتظمی حاصل می­گردد. این معیار در بتن، سنگ و خاک قابل کاربرد است. با جایگزینی معادله ۵-۷ در ۵-۱۳ می­توانیم معیار هوک و براون را برحسب متغیر­های تنش بنویسیم.
۵-۱۸
۵-۳- رابطه تنش-کرنش در حالت الاستو پلاستیک:
همانطور که در شکل ۵-۱ نشان داده شده است رفتار الاستو پلاستیک بعد از تسلیم اتفاق می­افتد. هرتغییر کرنش قابل تقسیم به تغییر کرنش الاستیک و تغییر کرنش پلاستیک می­باشد.
۵-۱۹
جزء اول معادله ۵-۱۵ تغییر کرنش الاستیک می­باشد که مطابق رابطه زیر می­باشد.
۵-۲۰
جایی که E مدول الاستیسیته و  ضریب پواسون می­باشد.

شکل۵-۱-نمودار تنش کرنش جسم الاستو پلاستیک سخت شونده
برای تعیین تغییرات کرنش پلاستیک و تغییرات تنش، فرضی مطابق رابطه ۵-۱۷ را در نظر می­گیریم.