۳-۴-۱- مفاهیم و تعاریف اولیه Streamline ها
تعریف کلی SL ها، ، بدین صورت است که شیب منحنی SL ها برابر با سرعت در هر لحظه داده شده از زمان می باشد.
در اینجا پارامتری است که از SL تبعیت می کند در حالی که زمان (فیزیکی) واقعی است.
از آنجا که SL ها مستقل از زمان هستند، SL ها توصیف کننده مسیر میدان جریان در هر لحظه داده شده در زمان می باشند.
پارامتر ، مدت زمانی که نیاز است یک ذره، مسافت معینی را در راستای SL در زمان واقعی داده شده طی کند، اندازه گیری می کند.
دقت شود که در شبیه سازی مخزن، هم و هم شکل مسیر حرکت SL ها مهم هستند. در حالی که در سایر کاربردها تنها مسیر حرکت SL ها مورد توجه است.
۳-۴-۱-۱- برخی از تعاریف Streamline
با توجه به اینکه شیب منحنی SL ها برابر با سرعت در هر لحظه داده شده از زمان می باشد، رابطه زیر برقرار می باشد.
معادلات (۳٫۱۹) و (۳٫۲۰) به صورت زیر می تواند نوشته شود.
حذف پارامتر زمان: در دو بعد،
در سه بعد:
ساده ترین وضعیت: معادلات جداشدنی باشد. برای مثال، و باشد آن گاه یا می شود. شکل ۳-۳ را ببینید.

( اینجا فقط تکه ای از متن فایل پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

شکل ۳-۳: رسم میدان برای . SL ، از شروع شده و تا نقطه دنبال شده است [۳۹].
۳-۴-۱-۲- Potential Flow
فرض کنید یک جریان غیرچرخشی^[۸۰] و مستقل از دیورژانس ( جریان غیر قابل تراکم^[۸۱]) در دو بعد داریم:
تابع تحلیلی (پتانسیل مختلط) به صورت زیر تعریف می شود،
از معادله کوشی- ریمان، می دانیم که:
تعریف می کنیم ، یا
بنابراین هارمونیک است، و
و
همچنین داریم:
که بیان می کند منحنی های و بر هم عمودند.
تابع تابع پتانسیل نامیده می شود و تابع جریان (Stream Function) نامیده می شود.
از آنجا که سرعت عمود بر سطوح منحنی () می باشد، تابع باید توصیف کننده SL ها باشد [۳۹].
۳-۴-۲- مقدمه ای بر روش Streamline در شبیه سازی مخازن
شبیه سازی جریان سیال بر مبنای SL ، توجه بسیار زیادی را در سال های اخیر به خود جلب کرده است. و هم اکنون به عنوان یک روش کارامد نسبت به روش های سنتی مدل سازی جریان سیال نظیر Finite-Difference مورد توجه است. شبیه سازی بر مبنای SL ، مخصوصا در مخازن با ابعاد بالا و دارای پیچیدگی های زمین شناسی و ناهمگن که جریان سیال متاثر از موقعیت چاه ها و خاصیت سنگ های مخزن ( نفوذ پذیری، تخلخل و … ) و گرانش می باشد، موثر است. اما از طرف دیگر تاثیرات فشار موئینگی در این روش به خوبی مدل نمی شود [۴۰].
شبیه سازی بر مبنای SL بر ۶ اصل بنا شده است:
تعقیب کردن مسیر SL ها در سه بعد در مختصات TOF
تغییر معادله سه بعدی اشباع به چندین معادله یک بعدی در راستای SL ها
به روز رسانی پریودیک SL ها
حل عددی معادله ی بعدی در راستای SL ها
لحاظ کردن اثر گرانش به کمک اپراتور Splitting
گسترش روش به سیال های متراکم^[۸۲]
از مزایای اولیه روش SL، محاسبات سریع تر، بهبود دقت (کاهش پراکندگی عددی^[۸۳])، قابلیت نمایش مدل های زمین شناسی با جزئیات بالا، نمایش کمی جریان و تطبیق سریع تاریخچه مخزن می باشد. سرعت و دیگر ویژگی های متنوع این روش، باعث سودمند واقع شدن این روش در بسیاری از کاربرد ها شده است.
سیال ها به جای حرکت بین دو گرید گسسته در روش های سنتی، به طور طبیعی در راستای SL ها حرکت می کنند. حرکت سیال بین گرید های گسسته در مدل سازی مخزن به روش های سنتی FD ، به دلیل ملاحظات پایداری و همگرایی این روش، منجر به محدودیت در انتخاب مرحله زمانی (Time-Steps) می شود. در حالی که با حرکت سیال در راستای SL ، محدودیت های پایداری از بین می رود و این روش به ازای هر مرحله زمانی پایدار است. در نتیجه به دلیل محدودیت های مربوط به گریدها و انتخاب مرحله زمانی، در روش های سنتی ، مراحل زمانی کوچک انتخاب می شوند و این منجر به محاسبه مکرر معادلات اشباع و فشار می شود. که از نظر محاسباتی بسیار پر هزینه است. اما در روش SL ها به دلیل انتخاب مرحله زمانی بزرگ، مسیر SL ها متناوبا به روز می شوند و این باعث هر چه سریع تر شدن این روش می شود[۴۱].
مدل بر مبنای SL جایگزینی برای شبیه سازهای سنتی بر مبنای گرید نمی باشد. اما نقش مهمی در پر کردن فضای خالی میان مدل های زمین شناسی و شبیه سازهای جریان ایفا می کند [۴۲].
۳-۴-۳- تاریخچه مدل سازی مخزن بر پایه Streamline
امروزه شبیه سازی بر پایه SL بر حداقل چهار روش دیگر مدل سازی جریان در مخزن مقدم است. روش های Line-Source/Sink به طور گسترده در صنعت نفت مورد استفاده قرار می گرفته است[۴۳، ۴۴]. این روش از جواب های تحلیلی برای فشار و توزیع سرعت در مخزن استفاده می کنند. محدودیت اصلی این روش نیاز به شرایط همگنی و ضخامت ثابت مخزن می باشد. روش مبتنی بر Streamtube جامع تر است و به صورت موفقیت آمیز در مدل سازی waterflooding و Miscible Flooding به کار گرفته شده است [۴۵-۴۷]. در این روش، محدوده جریان به تعدادی Streamtube تقسیم می شود و محاسبات اشباع سیال در راستای St (Streamtube) ها انجام می شود. اما نیاز به دنبال کردن هندسه St ها در سه بعد, عملی بسیار کند و زمان بر است. بنابراین در اکثر کاربردها، روش St به دو بعد محدود می شود. روش دنبال کردن یک ذره^[۸۴] ، در صنعت نفت برای مدل کردن Tracer-Transport در مخازن هیدروکربنی و همچنین کاربردهایی نظیر آب های زیرزمینی مورد استفاده قرار می گیرد [۴۸]. این روش جابه جایی دسته بزرگی از ذرات را ، در راستای مسیرهای حرکت مناسب، دنبال می کند. در حالی که این روش در نزدیکی Steep-Fronts به خوبی کار میکند، برای پروفایل های هموار مناسب عمل نمی کند. در نهایت، روش Front-Tracking ، جلو سیال^[۸۵] را به عنوان یک درجه آزادی در محاسبات معرفی می کند [۴۹]. محدودیت این روش بار محاسباتی زیاد آن است.
اگرچه روش SL در بسیاری از مفاهیم مشابه روش های پیشین است، اما دارای برخی تعریف های جدید نیز می باشد. به کمک SL ها می توان شبیه سازی را در یک محیط سه بعدی ناهمگن انجام داد. که این امر با تعریف مفهوم زمان پرواز^[۸۶] (TOF) SL محقق شده است. زمان پرواز به طور ساده مدت زمان طی شده توسط یک ذره خنثی در راستای SL ها است. کلید اصلی شبیه سازی بر مبنای SL ها جداسازی اثر ناهمگنی های زمین شناسی از معادلات اشباع می باشد. این جداسازی به کمک زمان پرواز SL به عنوان متغییر تصادفی محقق شده است. تاثیر ناهمگنی زمین شناسی در زمان پرواز SL نهفته شده است. به علاوه، در مختصات TOF ، معادله چند بعدی اشباع به چندین معادله یک بعدی در راستای SL ها کاهش می یابد. که مسلما محاسبات مربوط به معادلات اشباع را ساده خواهد کرد. شبیه ساز SL ، برای مدل سازی میدان های با سرعت متغییر در زمان، جریان های متراکم، تحت تاثیر گرانش و دارای شرایط غیریکنواخت مناسب است. در [۵۰] لیست کاملی از تاریخچه شبیه سازی SL آورده شده است[۴۲].
Muskat در سال ۱۹۳۷ یک توصیف اولیه از معادلات تحلیلی تعریف کننده ، تابع Stream ، ، و تابع پتانسیل، ، برای یک محیط ساده دو بعدی با سیال غیر قابل تراکم ارائه داد. اکثر کارهای صورت گرفته در Streamline ها در زمینه آب های زیرزمینی^[۸۷] بوده است. آفای Fay و Pratts برای اولین بار در زمینه نفت ، از Streamline ها در دو بعد استفاده نمودند. تمام روش های SL سه بعدی از ایده تعقیب یک دسته ذره^[۸۸] به منظور تعریف SL استفاده می کنند. آقای Shafer یک ذره را از تزریق کننده تا تولید کننده به کمک روش رانگ – کوتا ردیابی کرد. روش آقای Shafer به یک سیستم ناهمگن دو بعدی اعمال شد. سپس آقای Pollock [51] ردیابی به کمک رانگ – کوتا را با تعریف تکه ای خطی بودن میدان سرعت در هر گرید ، بهبود بخشید. در نتیجه یک الگوریتم تحلیلی برای ردیابی مسیر SL در هر گرید بدست آمد. آقای Bommer و Schecter معادلات عددی پایستگی جرم را در راستای SL ها ، نگاشت کرد. آقای Dutta-Gupta و King زمان پرواز^[۸۹] را در راستای SL معرفی نمود. و سپس یک مدل بر مبنای SL را بر روی یک سیستم دوبعدی ناهمگن با دو چاه پیاده سازی کردند. سپس روش SL ، به یک سیستم سه بعدی توسط آقای Blunt اعمال شد [۴۱].
۳-۴-۴- روش Streamline
شبیه سازی SL، معادلات سه بعدی سیال را با چندین معادله یک بعدی در راستای SL ها تقریب می زند. و ایده اصلی شبیه سازی SL ، جداسازی تاثیر ناهمگنی زمین شناسی از محاسبات حرکت سیال می باشد. از نظر ریاضی این عمل با به کارگیری زمان پرواز SL به عنوان متغیر مختصات، محقق شده است. در واقع به یک سیستم مختصاتی جدید می رویم که در آن تمام SL ها خطوط مستقیم هستند و فاصله با زمان پرواز جایگزین شده است. تاثیر ناهمگنی، در زمان پرواز و منحنی مسیر SL ها لحاظ شده است. از آنجا که محاسبه اشباع در راستای SL ها از گرید مربوط به آن جدا شده است، در انتخاب مرحله زمانی (Time-Steps) هیچ گونه محدودیتی وجود ندارد.
شبیه سازی SL شامل گام های اصلی زیر می باشد:
دنبال کردن SL ها بر اساس سرعت میدان که معمولا به طور عددی با روش Finite-Difference (FD) محاسبه می شود.
محاسبه زمان پرواز در راستای SL ها
محاسبه معادلات جابه جایی سیال (نظیر اشباع و تمرکز^[۹۰]) در راستای SL ها
به روز رسانی پریودیک SLها به منظور لحاظ کردن اثر تغییر شرایط میدان و تاثیرات جابه جایی سیال
مزیت محاسباتی روش SL به چهار عامل وابسته است: ۱) SL ها نیاز به بروز رسانی زیادی ندارند. ۲) معادلات جابه جایی سیال در راستای SL ها غالبا می تواند به صورت تحلیلی حل شود. ۳) پاسخ عددی معادلات یک بعدی در راستای SL ها به قیود زمین شناسی مسئله محدود نشده است. در نتیجه می توان مرحله زمانی بزرگتری را انتخاب کرد. ۴) زمانی که ناهمگنی بر جابه جایی سیال غالب است، زمان محاسباتی معمولا به طور تقریبا خطی با تعداد گرید ها تغییر می کند [۴۲].
۳-۴-۵- مزایا و معایب Streamline ها در شبیه سازی مخزن